34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置——二分法的魔鬼细节 小记

每次遇到二分法，一看就会，一写就废，在力扣上看到一篇很好的总结，因此做一下搬运工
参考题解——二分法各种情况及细节剖析，附送小诗一首

场景包括寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。
而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等

零、二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

上面出现…的地方，就是需要注意的细节；

而且还要防止溢出；本人以前习惯用mid = (left+right)/2,但是left+right直接相加，可能会导致溢出，因此要更为mid=left+(right-left)/2,这样就有效防止left、right过大，相加后导致了溢出。

一、寻找一个数（基本的二分搜索）

即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1

int binarySearch(int[] nums, int target) {
	int left = 0;
	int right = nums.size()-1;
	
	while(left <= right)
	{
		int mid = left+(right-left)/2;
		if(nums[mid] == target)
			return mid;
		else if(nums[mid] > target)
			right = mid-1;
		else if(nums[mid] < target)
			left = mid+1;
	}
	return -1;
}

1、为什么while循环条件是 <=，而不是<

因为初始化right的赋值是nums.size()-1，即最后一个元素的索引，而不是nums.size();

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭的区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

  if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。

那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

    //...
    while(left < right) {
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;

2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

二、寻找左侧边界的二分搜索

int left_bound(int[] nums, int target) {
	if(nums.size() == 0) return -1;
	int left = 0;
	int right = nums.size();//注意

	while(left < right)//注意
	{
		int mid = (left+right)/2;
		if(nums[mid] == target){
			right = mid;
		}else if(nums[mid] < target){
			left = mid+1;//注意
		}else if(nums[mid] > target){
			right = mid;//注意
		}			
	}
	return left;
}

1、为什么 while 中是 < 而不是 <=?

用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的 right 不是 nums.length - 1 吗，为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？
因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。

2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。

再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

if (nums[mid] == target)
    right = mid;

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

4、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    // 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

if (nums[mid] < target) {
    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：
因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

if (left >= nums.length || nums[left] != target)
    return -1;
return left;

完整代码如下：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}

三、寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

小结

int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1; 
        } else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，收缩左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}


int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，收缩右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

示例 1:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]
示例 2:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> res(2,-1);
        int len = nums.size();
        if(len==0) return res;
        int l = 0;
        int r = len-1;
    
    //搜索左边界
        while(l <= r)
        {
            int mid = l+(r-l)/2;
            if(nums[mid] == target)
                r = mid-1;
            else if(nums[mid] < target)
                l = mid+1;
            else if(nums[mid] > target)
                r = mid-1;            
        } 
        if (l >= len || nums[l] != target)//越界检查
            return res;
        res[0] = l;
        
        //搜索右边界
        l=0;
        r=len-1;
        while(l <= r)
        {
            int mid = l+(r-l)/2;
            if(nums[mid] == target)
                l = mid+1;
            else if(nums[mid] < target)
                l = mid+1;
            else if(nums[mid] > target)
                r = mid-1;
        }
        if (r < 0 || nums[r] != target)//越界检查
            return res;
        res[1] = r;       
        return res;
    }
};