论文阅读 (五)：Eigenvector centrality of nodes in multiplex networks.

引入

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摘要

  将特征向量中心性的概念扩展到多路复用网络，并引入了一些可量化的参数，这些参数可量化代表着多层网络系统中节点的重要性，包括矢量类型中心性的定义。 此外，我们严格地表明，在合理的条件下，这种集中措施是存在的并且是独特的。 计算机实验和仿真表明，所提出的措施在应用于相同的多路复用结构时可提供实质上不同的结果，并突出介绍了引入的不同中心性措施之间的非平凡关系。
  许多生物，社会和技术系统都可以找到适合作为复杂网络的表示形式，其中节点代表系统的组成部分，而边沿则说明它们之间的相互作用。通常，节点的交互比简单的链接需要更准确的映射，因为系统的组成部分通常以多种方式同时连接。例如，在社交网络中，可以考虑几种类型的不同参与者的关系：友谊，邻居，亲戚，同一文化社会的成员身份，伙伴关系或同事关系等。在这种情况下，赋予我们的网络以互惠感多重网络结构。这种表示法反映了节点通过多层链路的交互，而传统的单层网络表示法无法捕获。社会学家长期以来一直在考虑这种多路复用表示法，尽管最近已经提出了有关多路复用网络建模和结构的，一些结果，但是在这种网络中对中​​心性参数的研究还没有。还没有得到令人满意的解决。本文的目的是提出复用网络中的中心性定义，并举例说明潜在的应用。

符号系统

   G = { G 1 , ⋯   , G m } \mathcal{G} = {\{\boldsymbol{G_1}, \cdots, \boldsymbol{G_m}\}} G={ G1​,⋯,Gm​} 表示一个复杂网络结构，${\mathbf{G}}_{\mathbf{k}}=(X,E_k)$ 表示第 $i$个网络层，$X=(e_1,\cdots ,e_n)$ 表示节点的集合，$E_k$ 就是边的集合，每个网络 $G_k$ 用一个邻接矩阵 $A_k=(a_{ij}^k)$ 来表示，其中
$$a_{ij}^k=\{\begin{array}{ll}1& if(e_j,e_i)\in E_k,\\ 0& otherwise.\end{array}$$
   于是一个 $\mathcal{G}$ 就能被看作是一个图 $\overline{G}=(X,E)$ ，$E={\bigcup }_{k=1}^m{E}_k$ 就是第 $k$个网络的一个边集合；然后 $\overline{G}$ 又能被 $\overline{A}={\overline{a}}_{ij}^k$ 表示：
$${\overline{a}}_{ij}^k=\{\begin{array}{ll}1& if{a}_{ij}^k\ne 0forsome1\le k\le m\\ 0& otherwise.\end{array}$$

1.特征向量中心的数学模型

提出问题

   在多路复用网络的情况下，要解决的中心问题是：考虑到并非所有子网都具有不同的子网（通道，社区，层…）之间的所有相互作用，该如何考虑在内？ 同样重要吗？ 实际上，必须指出，为了获得节点的中心性，必须考虑到节点的中心性（重要性，影响…）如何通过不同的渠道在整个网络中传播（ 层）不一定是添加剂。 例如，全球社交网络（例如Facebook或Twitter）的特征是非常不同的2种交互，这也是气候系统，博弈论和基础设施交互等领域中各个单位之间交互的典型特征。总之一句话，就是怎么找到节点的中心性。

解决问题

  参考网络 $\mathcal{G}$，对于每一层，可以将经典特征向量中心点 $G_k$ 视为 $A_k$ 的主要特征向量（如果存在）。 具体而言，层 $G_k$ 中节点 $e_i$ 的特征向量中心点将是与矩阵 $A_k$ 的最大特征值相对应的正定和归一化向量$c_k\in R_n$ 的第 $i$ 个条目。 以类似的方式，投影网络 $G$ 的特征向量中心将是 $A$ 的主要特征向量。对于具有正项的任何对称矩阵，Perron-Frobenius定理可以保证这些向量的存在和唯一性。有趣的是，Perron-Frobenius定理可以方便地扩展到多路复用网络，从而带来更深入的节点中心性概念。
  一旦计算完所有特征向量中心点，就可以将 $\mathcal{G}$ 的类似独立层特征向量的中心点（简称为 $\mathcal{G}$ 的独立层中心点）视为矩阵 $C=(c_1|c_2|\cdots |c_m)\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，$C$ 是一个列随机向量，并且 $\Vert c_k{\Vert }_1=1$ (绝对值和为1)
  节点的中心性（重要性）必须与其邻居（位于所有层上）的中心性成正比，并考虑到所有层具有相同的重要性，在图 $G_{\ell }$ 中，如果 $j$ 指向 $i$ ， 对于任意的 $i,j\in X$ $c(i)$ 正比于$c(j)$ ；
这允许将类似均匀特征向量的中心点（简称均匀中心点）定义为矩阵 $\tilde{A}={\sum }_{k=1}^m{A}_k$ 的正和归一化特征向量 $\tilde{c}\in {\mathbb{R}}^n$（如果存在）；例如，这种情况发生在社交网络中，其中不同的个人可能与其他人有不同的关系，而人们通常对衡量熟人网络的中心性感兴趣。
  再往前走，可以考虑在网络的不同层中将层与重要性（或影响）的不同级别相关联，并将这种信息包括在矩阵中以说明层之间的相互影响。 因此，为了计算特定层内节点的重要性（或影响力），还必须考虑所有其他层，因为其中某些层可能与该计算有关。 例如，考虑一个老板和他的一名雇员去同一个体育馆的情况：体育馆层中两个同伴之间的关系与办公室层内的人具有完全不同的性质，但是老板的角色 （即他的核心地位）在这种情况下甚至比他是办公室里唯一经常光顾那个体育馆的人更大。 换句话说，需要考虑各层之间的影响是异构的情况。
  为此，可以引入影响矩阵 $\mathbf{W}=(w_{ij})\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$作为非负矩阵$W\ge 0$，以便 $w_{ij}$ 测量层 $G_j$