树和二叉树-优快云博客

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树（Tree）和二叉树（Binary Tree）是计算机科学中重要的数据结构，广泛应用于算法、数据库、文件系统等领域。以下是它们的核心概念、分类和特点的总结：

一、树（Tree）

1. 基本定义

树是由节点（Node）和边（Edge）组成的层次化数据结构，满足以下条件：
1. 有且仅有一个根节点（Root），无父节点。
2. 除根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
3. 所有节点通过边连接，无环路。

2. 核心概念

根节点：树的顶层节点，无父节点。
子节点：一个节点直接连接的下级节点。
父节点：一个节点的直接上级节点。
叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
子树：以某个节点为根的子树，包含其所有后代节点。
深度：从根节点到当前节点的路径长度（根节点深度为0或1，取决于定义）。
高度：从当前节点到最远叶子节点的路径长度（叶子节点高度为0或1）。

3. 树的分类

类型	描述
普通树	任意节点可以有多个子节点（无限制）。
二叉树	每个节点最多有2个子节点（左子节点和右子节点）。
二叉搜索树	二叉树的一种，左子树所有节点的值 < 根节点值 < 右子树所有节点的值。
平衡树	如AVL树、红黑树，通过旋转操作保持树的高度平衡，确保操作效率（如查找为O(log n)）。
B树/B+树	多路平衡搜索树，用于数据库和文件系统，支持高效磁盘存取。

二、二叉树（Binary Tree）

1. 基本定义

每个节点最多有2个子节点（左子节点和右子节点）。
是树的一种特例，但应用更广泛（如表达式树、哈夫曼编码等）。

2. 二叉树的分类

类型	描述
满二叉树	所有非叶子节点都有2个子节点，且所有叶子节点在同一层。
完全二叉树	除最后一层外，其他层节点全满，且最后一层节点从左到右连续填充。
完美二叉树	所有层的节点全满（是满二叉树和完全二叉树的特例）。
二叉搜索树	左子树节点值均小于根节点，右子树节点值均大于根节点（支持高效查找、插入、删除）。
线索二叉树	利用空指针域存储遍历顺序的前驱或后继信息，优化遍历效率。

3. 二叉树的遍历

遍历方式决定了访问节点的顺序，常见方法：

遍历方式	访问顺序	应用场景
前序遍历	根 → 左子树 → 右子树	复制树结构、表达式求值（前缀表达式）。
中序遍历	左子树 → 根 → 右子树	二叉搜索树中输出有序序列。
后序遍历	左子树 → 右子树 → 根	释放内存、表达式求值（后缀表达式）。
层序遍历	按层次从上到下、从左到右访问节点	求树的宽度、按层处理节点。

示例（中序遍历）：
对于二叉搜索树，中序遍历结果是一个有序序列（如 [1,3,4,6,7,8,10]）。

4. 二叉树的存储

链式存储：通过节点对象存储值和左右子节点指针（常用）。
顺序存储：用数组表示，适合完全二叉树（父节点索引为i，左子节点为2i+1，右子节点为2i+2）。

三、树 vs 二叉树

特性	树	二叉树
子节点数	任意数量（无限制）	最多2个子节点
应用场景	文件系统、组织结构	表达式树、哈夫曼编码、搜索算法
遍历复杂度	需处理多个子节点	固定遍历左、右子节点
存储结构	多叉链表或左孩子右兄弟表示	链式或顺序存储

四、二叉树的应用

表达式树：表示数学表达式，支持前序、中序、后序遍历生成不同表达式形式。
哈夫曼编码：用二叉树生成最优前缀编码，用于数据压缩。
二叉搜索树：高效查找、插入、删除（平均时间复杂度O(log n)）。
堆（完全二叉树）：实现优先队列，用于堆排序、Dijkstra算法等。
决策树：机器学习中的分类模型，通过二叉树路径进行决策。

五、代码示例（二叉树的链式存储）

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.val = value
        self.left = None
        self.right = None

# 构建一个简单的二叉树
root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)

# 中序遍历
def inorder_traversal(node):
    if node:
        inorder_traversal(node.left)
        print(node.val, end=' ')
        inorder_traversal(node.right)

inorder_traversal(root)  # 输出：4 2 5 1 3