高频4. 最长递增子序列 及其变形题的各种解法 Java codetop

题目描述

最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

各种解法

动态规划

子序列不要求连续，子数组才要求连续

class Solution {
   
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
   
        // dp[i]的定义为：包含第i个元素的最长递增子序列的长度
        int[] dp = new int[nums.length];
        //初始化默认每个数字结尾的长度都有 1，自己
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1; // 最终结果，最终是所有dp中的最大值
        for(int i=1; i<nums.length; i++){
   
            dp[i]=1; // 一定要赋值，因为可能第2个数进不了if，导致取值为0
            for(int j=0; j<i; j++){
   
                if(nums[j]<nums[i]){
   
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
                }
            }
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}

解题思路

• dp[i]表示考虑前 i 个元素，以第 i 个数字结尾的最长子序列的长度，nums[i]必须被选中
• 状态转移方程：dp[i] = max(dp[j]) + 1, 其中0≤j<i且num[j]<num[i]，以之前比自己小的元素结尾的最大的结果+1
• 最终的结果是dp数组中的最大值

时间复杂度：O(n^2)

动态规划+二分查找

需要把时间复杂度从O(n^2)提升到O(nlogn)，自然地往二分查找的方向想。
动态规划O(n^2)来源于求dp数组是o(n)，dp数组的每个值是O(n)
现在可优化的点在dp数组的每个值的求取，降到O(logn)。需要重新设计，原来的dp变成现在的tails数组

public static int longestSubArr(int[] nums){
   
        // 因为要求O(NlogN),所以dp的思路就达不到了，需要用二分查找的思路
        int[] tails = new int[nums.length]; // tails[k]记录长度为k+1的子序列的尾部元素值
        int res = 0;
        for(int num : nums){
   
            int left = 0, right = res;
            // 前闭后开，找到第一个num大的数，更新他
            while(left<right){
   
                int mid = left + (right-left)/2;
                if(tails[mid] < num){
   
                    left = mid