快速幂取模

快速幂

　  先讨论无需取模的

　　当b为偶数时：a^b=a^(b/2)*2=(a²)^b/2

　　当b为奇数时：a^b=a*a^b-1=a*(a²)^(b-1)/2

　　如   2⁸=（2²）⁴         2⁷=2*(2²)³

　　所以，我们可以如此迭代下去

　　2¹⁰=(2²)⁵=(2²)*[(2²)²]²

　　 ①       ②              ③

　　指数为10 是一个偶数，则底数2平方，指数变为一半 [ ①→② ]

　　指数为5 是一个奇数，则先将底数提出作为系数（2²），此时指数为4 是一个偶数，则底数2²再平方，指数再变为一半 [ ②→③ ]

　　归纳总结得到：

　　      当指数大于1时，若为 偶数 则将指数除以2，底数平方

                                   若为 奇数 则先提出一个为底数的系数（可直接把该系数乘进ans中），所以指数减1，然后再按照 偶数 的办法做

　　不断迭代下去，当指数为1时，则直接得出答案

　　最后只要将每次相乘时取模即可，时间复杂度O(log₂b)

 

 1 inline int mi(int a,int b)
 2 {
 3     int ans=1;
 4     a%=mo;
 5     while (b)
 6     {
 7         if (b&1) ans=ans*a%mo;
 8         b>>=1;
 9         a=a*a%mo;
10     }
11     return ans;
12 }

1. 对于任何一个整数的模幂运算  
2. a^b%c  
3. 对于b我们可以拆成二进制的形式  
4. b=b0+b1*2+b2*2^2+...+bn*2^n  
5. 这里我们的b0对应的是b二进制的第一位  
6. 那么我们的a^b运算就可以拆解成  
7. a^b0*a^b1*2*...*a^(bn*2^n)  
8. 对于b来说，二进制位不是0就是1，那么对于bx为0的项我们的计算结果是1就不用考虑了，我们真正想要的其实是b的非0二进制位  
9.   
10. 那么假设除去了b的0的二进制位之后我们得到的式子是  
11. a^(bx*2^x)*...*a(bn*2^n)  
12. 这里我们再应用我们一开始提到的公式，那么我们的a^b%c运算就可以转化为  
13. (a^(bx*2^x)%c）*...*(a^(bn*2^n)%c)  
14. 这样的话，我们就很接近快速幂的本质了  

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1. (a^(bx*2^x)%c)*...*(a^(bn*2^n)%c)  
2. 我们会发现令  
3. A1=(a^(bx*2^x)%c)  
4. ...  
5. An=(a^(bn*2^n)%c)  
6. 这样的话，An始终是A(n-1)的平方倍（当然加进去了取模匀速那），依次递推  

现在，我们基本的内容都已经了解到了，现在我们来考虑实现它：

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1. int quick(int a,int b,int c)  
2. {  
3.     int ans=1;   //记录结果  
4.     a=a%c;   //预处理，使得a处于c的数据范围之下  
5.     while(b!=0)  
6.     {  
7.         if(b&1) ans=(ans*a)%c;   //如果b的二进制位不是0，那么我们的结果是要参与运算的  
8.         b>>=1;    //二进制的移位操作，相当于每次除以2，用二进制看，就是我们不断的遍历b的二进制位  
9.         a=(a*a)%c;   //不断的加倍  
10.     }  
11.     return ans;  
12. }  

现在，我们的快速幂已经讲完了

我们来大致的推演一下快速幂取模算法的时间复杂度

首先，我们会观察到，我们每次都是将b的规模缩小了2倍

那么很显然，原本的朴素的时间复杂度是O(n)

快速幂的时间复杂度就是O(logn)无限接近常熟的时间复杂度无疑逼朴素的时间复杂度优秀很多，在数据量越大的时候，者中优化效果越明显

3.OJ例题

POJ1995

题意：

快速幂版题

[cpp]  view plain  copy

1. #include"iostream"  
2. #include"cstdio"  
3. #include"cstring"  
4. #include"cstdlib"  
5.   
6. using namespace std;  
7.   
8. int ans=0;  
9. int a,b;  
10. int c;  
11.   
12. int quick(int a,int b,int c)  
13. {  
14.     int ans=1;  
15.     a=a%c;  
16.     while(b!=0)  
17.     {  
18.         if(b&1) ans=(ans*a)%c;  
19.         b>>=1;  
20.         a=(a*a)%c;  
21.     }  
22.     return ans;  
23. }  
24.   
25. int main()  
26. {  
27.     int for_;  
28.     int t;  
29.     scanf("%d",&t);  
30.     while(t--)  
31.     {  
32.         ans=0;  
33.         scanf("%d%d",&c,&for_);  
34.         for(int i=1;i<=for_;i++)  
35.         {  
36.             scanf("%d%d",&a,&b);  
37.             ans=(ans+quick(a,b,c))%c;  
38.         }  
39.         printf("%d\n",ans);  
40.     }  
41.     return 0;  
42. }