数据结构与算法——30. 广度、深度优先搜索及骑士周游问题

一、广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）

在前面的词梯问题中，在单词关系图建立完成以后，需要继续在图中寻找词梯问题的最短序列，这就需要用到“广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）”。BFS是搜索图的最简单算法之一，也是其它一些重要的图算法的基础。

给定图G，以及开始搜索的起始顶点s。BFS搜索所有从s可到达顶点的边。而且在达到更远的距离k+1的顶点之前，BFS会找到全部距离为k的顶点。（看不懂没关系，看完后面的举例就明白了）

可以想象为以s为根，构建一棵树的过程，从顶部向下逐步增加层次。广度优先搜索能保证在增加层次之前，添加了所有兄弟节点到树中。

1. BFS算法过程

我们从fool开始搜索，从fool可以到达的顶点有foul、foil、cool、pool，完成第一轮，距离为1。然后再依次以这四个顶点为起点，寻找下一步可以到达的顶点fail、poll，完成第2轮，距离等于2。然后是第三轮……。如此反复，直到抵达目标sage为止。

但有些顶点之间的距离是不确定的，比如fool到pool，可以直接到达，距离为1；也可以通过cool到达，距离为2。

为了跟踪顶点的加入过程，并避免重复顶点，要为顶点增加3个属性：

1. 距离（distance）：从起始顶点到此顶点路径长度；
2. 前驱顶点（predecessor）：可反向追溯到起点；
3. 颜色（color）：标识了此顶点是尚未发现（白色）、已经发现（灰色）、还是已经完成探索（黑色）。

还需要用一个队列Queue来对已发现的顶点进行排列，已经发现的放到队首，完成探索的放到队尾。以此决定下一个要探索的顶点（队首顶点）。

算法过程：

从起始顶点s开始，作为刚发现的顶点，标注为灰色，距离为0，前驱为None。将s加入队列，接下来是个循环迭代过程：

1. 从队首取出一个顶点作为当前顶点；
2. 遍历当前顶点的邻接顶点；
3. 如果是尚未发现的白色顶点，则将其颜色改为灰色（已发现），距离增加1，前驱顶点为当前顶点，加入到队列中；
4. 遍历完成后，将当前顶点设置为黑色（已探索过），循环回到步骤1的队首取当前顶点。

2. python实现

def bfs(g,start):  # 参数：图，起点
  # 起点的距离设置为1
  start.setDistance(0)
  # 起点的前驱设置为None
  start.setPred(None)
  vertQueue = Queue()
  # 将起点放入队首
  vertQueue.enqueue(start)
  while (vertQueue.size() > 0):
    # 取出队列的队首元素作为当前顶点
    currentVert = vertQueue.dequeue()
    # 遍历当前顶点的邻接顶点
    for nbr in currentVert.getConnections():
      if (nbr.getColor() == 'white'):
        nbr.setColor('gray')
        nbr.setDistance(currentVert.getDistance() + 1)
        nbr.setPred(currentVert)
        vertQueue.enqueue(nbr)
    # 当前顶点探索完成，设置为黑色
    currentVert.setColor('black')

在以FOOL为起始顶点，遍历了所有顶点，并为每个顶点着色、赋距离和前驱之后。就可以通过一个回途追溯函数来确定FOOL到任何单词顶点的最短词梯！

def traverse(y):  # y是目标单词
    x = y
    while (x.getPred()):
        print(x.getId())
        x = x.getPred()
    print(x.getId())

traverse(g.getVertex('sage'))

3. 算法分析

BFS算法主体是两个循环的嵌套：

• while循环对每个顶点访问一次，所以是$O(|V|)$，V是顶点数量；

• 而嵌套在while中的for，由于每条边只有在其起始顶点u出队的时候才会被检查一次，而每个顶点最多出队1次，所以边最多被检查1次，一共是$O(|E|)$，E是边的数量。

综合起来BFS的时间复杂度为 O ( ∣