面试题 05.02. 二进制数转字符串

WALL-SQ

于 2023-03-02 15:56:18 发布

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文章标签： leetcode 算法职场和发展

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面试题 05.02. 二进制数转字符串

难度中等

二进制数转字符串。给定一个介于0和1之间的实数（如0.72），类型为double，打印它的二进制表达式。如果该数字无法精确地用32位以内的二进制表示，则打印“ERROR”。

示例1:

 输入：0.625
 输出："0.101"

示例2:

 输入：0.1
 输出："ERROR"
 提示：0.1无法被二进制准确表示

提示：

32位包括输出中的 "0." 这两位。
题目保证输入用例的小数位数最多只有 6 位

思路：一个很直观的想法就是一直做减法，如0.72，首先考虑0.5，则剩余0.32，接下来考虑0.18，依次类推，如果可以精确地用32位以内的二进制表示(即最小的位的权重为2^(-32))，即表示考虑32次小数二进制的减法，如果能减完，则可以精确表示，否则不行。

现在我们来考虑上述算法的优化问题，首先注意到题目条件输入用例的小数位数最多只有 6 位，其实也可以得到在这种条件下得到的二进制位最多也只有6位。

证明：我们可以将输入看成是如下式子(因为除2等价于二进制下右移1位)

$\frac{a}{2^6}=\frac{b*2^{6-x}}{2^x*2^{6-x}}=\frac{b}{2^x}$

此时我们可以知道b与2互质，即b是奇数。

我们回到十进制下考虑这个问题，我们设这个数可以表示为

$\frac{c}{10^6}=\frac{c}{2^6*5^6}$

上面两种表示均表示同一个数，因此有

$\frac{b}{2^x}=\frac{c}{2^6*5^6} \\=>b=\frac{c}{2^{6-x}*5^6} \\=>b=\frac{c*2^{x-6}}{5^6}$

由于我们前面已经约束过b与2互质，因此必须要满足x-6<=0，否则b就不满足与2互质了，即有x<=6。

当然，还有一个更简单单的方法：

$\\\frac{1}{2^6}=0.015625 \\\frac{1}{2^7}=0.0078125$

可以看到，到第7个二进制小数后，精度已经扩展到小数点后第七位了，有冗余的第七位就更不可能精确表示六位小数了，而小数每次除2精度一定会往后扩展一位。

另外为了避免浮点精度误差的问题，我们在这里采用乘法计算小数二进制的方式，设初始值为num(0<num<1)：

1.num=num*2

2.如果num>=1，则num=num-1，并上一位二进制1；否则上一位二进制0

这样做的理由其实就是二进制下，数扩大两倍等价于二进制位发生左移。

class Solution {
public:
    string printBin(double num) {
        string str = "";
        double esp = 1e-10;
        for(int count = 5; count >= 0 && num > 0; -- count){
            num = num * 2;
            if(num >= 1){
                num -= 1;
                str = str + '1';
            }else{
                str = str + '0';
            }
        }
        if(num - (int)num < esp){
            return "0." + str;
        }
        return "ERROR";
    }
};