矩阵的幂

题目描述

给定一个n*n的矩阵,求该矩阵的k次幂,即P^k。

输入描述:

 
第一行:两个整数n(2<=n<=10)、k(1<=k<=5),两个数字之间用一个空格隔开,含义如上所示。
接下来有n行,每行n个正整数,其中,第i行第j个整数表示矩阵中第i行第j列的矩阵元素Pij且(0<=Pij<=10)。另外,数据保证最后结果不会超过10^8。

输出描述:

对于每组测试数据,输出其结果。格式为:
n行n列个整数,每行数之间用空格隔开,注意,每行最后一个数后面不应该有多余的空格。
示例1

输入

2 2
9 8
9 3

输出

153 96
108 81

分析:

1.这里要模拟矩阵的乘法,用了3层循环模拟乘法,最外一层模拟次幂;

2.这里主要讲一个 ,利用memcpy函数实现数组之间的复制。

void*memcpy(void*dest, const void*src,unsigned int count);

第一个参数是目的数组首地址,即需要赋值的地址。第二个参数是源数组地址,即被复制的数组,第三个参数是复制的字节数。

数组是连续存放的,所以只需要将src的大小字节数作为第三个参数即可。

注意的是第三个参数是字节数大小而不是数组大小,如int a[5] 数组大小是5,但是字节数是5*4=20

通常第三个参数利用sizeof()来提供,即sizeof(src);

代码:

#include <iostream>
#include <cstring>


using namespace std;


int main()
{
    int n,i,j,temp=0,k,t;
    cin>>n>>t;
    int p[n+1][n+1],q[n+1][n+1];
    int res[n+1][n+1];


    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            cin>>p[i][j];
            q[i][j]=p[i][j];
            res[i][j]=p[i][j];
        }


    while(t-1!=0)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                for(k=1;k<=n;k++)
                    {temp += q[i][k] * p[k][j];}
                res[i][j]=temp;
                temp=0;
            }
        }
        memcpy(q,res,sizeof(res));
        t--;
    }


    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j!=1)
                cout<<" ";
            cout<<res[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }


    return 0;
}

### C++中矩阵运算的实现 在C++中,可以通过定义一个`Matrix`类来封装矩阵的操作,并通过递归或迭代的方式实现矩阵运算。以下是具体的实现方式: #### 定义矩阵类 为了方便操作,可以创建一个简单的`Matrix`类,支持基本的加法、乘法以及输入输出功能。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> class Matrix { public: int size; std::vector<std::vector<int>> data; // 构造函数 Matrix(int n) : size(n), data(n, std::vector<int>(n)) {} // 矩阵乘法 Matrix operator*(const Matrix& other) const { Matrix result(size); for (int i = 0; i < size; ++i) { for (int j = 0; j < size; ++j) { result.data[i][j] = 0; for (int k = 0; k < size; ++k) { result.data[i][j] += this->data[i][k] * other.data[k][j]; } } } return result; } // 打印矩阵 void print() const { for (int i = 0; i < size; ++i) { for (int j = 0; j < size; ++j) { std::cout << data[i][j] << (j != size - 1 ? ' ' : '\n'); } } } }; ``` 上述代码实现了矩阵的基本结构及其乘法操作[^1]。 #### 计算矩阵 利用快速的思想,可以在对数时间内完成矩阵的计算。具体来说,如果要计算 \( P^k \),则可以根据以下规则分解问题: - 如果 \( k \) 是偶数,则 \( P^k = (P^{k/2})^2 \); - 如果 \( k \) 是奇数,则 \( P^k = P \times P^{k-1} \)。 下面是完整的矩阵函数实现: ```cpp // 快速算法 Matrix matrix_power(const Matrix& base, int exp) { if (exp == 0) { Matrix identity(base.size); for (int i = 0; i < base.size; ++i) { identity.data[i][i] = 1; } return identity; } else if (exp % 2 == 0) { Matrix half = matrix_power(base, exp / 2); return half * half; } else { return base * matrix_power(base, exp - 1); } } ``` 此部分代码基于递归逻辑完成了矩阵的高效计算。 #### 输入与输出处理 按照题目中的输入输出要求,编写主程序如下: ```cpp int main() { int n, k; std::cin >> n >> k; Matrix P(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { std::cin >> P.data[i][j]; } } Matrix result = matrix_power(P, k); result.print(); return 0; } ``` 这段代码读取输入并调用之前定义的功能模块,最终打印结果矩阵[^2]。 --- ### 性能分析 对于大小为\( n \times n \) 的矩阵,单次乘法的时间复杂度为 \( O(n^3) \)。由于采用了快速技术,总的复杂度降低到 \( O(\log(k) \cdot n^3) \)。 ---
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