LeetCode每日一题--62. 不同路径（数学，动态规划）

题目：跳转至 62. 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：

1. 1 <= m, n <= 100
2. 题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {

    }
};

思路：
因为计算左上到右下的步数按只能向下向右来看是确定的，问题就集中到确定的步数中几步是向下（或向右），就是一个组合问题。总步数（m-1+n-1）中m-1次向下，n-1次向右：

稍微复习一下：$C_n^m=$$\frac{A_n^m}{m!}$=$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}$=$\frac{n!}{m!(n-m)!}$ (n>=m)

那么：$C_{m+n-2}^{m-1}=$$\frac{(m+n-2)!}{(m-1)!(n-1)!}$=$\frac{(m+n-2)(m+n-3)\cdots (n)(n-1)\cdots (1)}{(m-1)!(n-1)!}$=$\frac{(m+n-2)(m+n-3)\cdots (n)}{(m-1)(m-2)\cdots (1)}$

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;  //x:n,n+1,n+2...n+m-2
            					//y:1,  2,  3...  m-1
        }
        return ans;
    }
};

再补一下动态规划，知道了dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]，就初始化加循环搞定。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,1));
        for(int i=1;i<m;++i){
            for(int j=1;j<n;++j)
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};