LeetCode 之 乘积最大子数组

题目要求找出数组 nums 中乘积最大的连续子数组，最直接的办法是遍历整个数组，穷举以数组元素 nums[i] 为开头的所有连续子数组，通过比较所有连续子数组的乘积，找到最大值，并返回。

可是穷举所有子数组的乘积的过程中，存在很多重复计算。因此可以考虑使用动态规划的思想来优化算法。

知识点： 动态规划及其空间优化

1. 暴力遍历

这种方法通过穷举所有可能的结果，得到最大值。因此要对数组进行两次遍历，并假定数组首元素为乘积最大值 max 。
第一次遍历确定乘积子数组的开头元素 nums[i]
第二次遍历确定子数组的组成长度，子数组范围从开头元素 nums[i] 到 数组结尾 nums[nums.size() - 1] ，使用变量 multi 存储当前数组的乘积，并与最大值 max 比较。

class Solution {
   
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
   
        
        int max = nums[0];
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
   
            int multi = 1;
            for(int j = i; j < nums.size(); j++)
            {
   
                multi = multi * nums[j];
                max = max < multi ? multi : max;
            }
            
        }
        return max;
    }
};

2. 动态规划

“动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。”
那么本题的最优子结构是什么呢？什么时候子数组的乘积为最大？

2.1 定义子问题

本题的子问题是找到乘积最大的所有元素吗？
不是，因为题目要求的是数组，乘积最大的若干元素可能并不相邻，所以无法构成数组。
本题的子问题应该为以 nums[i] 为结尾的乘积最大子数组。

2.2 状态转移方程

动态规划的核心就是写出状态转移方程，并给出基础条件。
下面我们尝试根据题目要求写出状态转移方程。

什么时候以 nums[i] 为结尾的子数组的乘积为最大？
一个正数乘一个正数还是一个正数，一个正数乘一个负数就是一个负数，两个负数相乘是正数。我们无法确定 nums[i] 是正数、负数