剑指 Offer 43题：1～n 整数中 1 出现的次数

1.题目描述 

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例1：

输入：n = 12
输出：5

示例2：

输入：n = 13
输出：6

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/1nzheng-shu-zhong-1chu-xian-de-ci-shu-lcof

2.思路分析 

根据题目要求，我们需要统计 [1, n] 范围内所有整数中，数字 1 出现的个数。由于 n 的范围最大为 2^31 - 1 ，它是一个 10 位整数，因此我们可以考虑枚举每一个数位，分别统计该数位上数字 1 出现的次数，最后将所有数位统计出的次数进行累加即可得到答案。

为了直观地叙述我们的算法，下面我们以「百位」进行举例，对于几个不同的 n 手动计算出答案，随后扩展到任意数位。

以 n = 1234567 为例，我们需要统计「百位」上数字 1 出现的次数。我们知道，对于从 0 开始每 1000 个数，「百位」上的数字 1 都会出现 100 次，即数的最后三位每 1000 个数都呈现 [000, 999]的循环，其中的 [100, 199] 在「百位」上的数字为 1，共有 100个。

n 拥有 1234 个这样的循环，每个循环「百位」上都出现了 100 次 1，这样就一共出现了 1234×100 次 1。如果使用公式表示，那么这部分出现的 1 的次数为：

对于剩余不在完整的循环中的部分，最后三位为 [000, 567]，其中 567 可以用 n mod 1000 表示，其中mod 表示取模运算。记 n' = n mod 1000，这一部分在「百位」上出现 1 的次数可以通过分类讨论得出：

当 n' < 100时，「百位」上不会出现 1；

当 100 ≤ n′ <200 时，「百位」上出现 1 的范围为 [100, n']，所以出现了 n' - 100 + 1 次 1；

当 n′ ≥200 时，「百位」上出现了全部 100 次 1。

可以发现，当 n' < 100 时，n' - 100 + 1 的值小于等于 0，而我们希望得到 0 的答案；n′ ≥200 时，n' - 100 + 1的值大于 100，而我们希望得到 100 的答案，因此我们可以总结归纳出这一部分在「百位」上 1 的出现次数为：

此时，我们就得到了 [1, n]中「百位」上数字 1 出现的次数为：

我们用类似的方法可以计算出在其它数位上数字 1 出现的次数。如果该数位可以表示为 10^k
 （例如 k=0, 1, 2 分别表示「个位」「十位」「百位」），那么数字 1 出现的次数为：

3.解答

class Solution {
    //找规律，枚举

    public int countDigitOne(int n) {
        //返回结果
        int ans = 0;
        long mulK = 1;

        //计算每一位上1出现的次数，相加
        for(int k = 0; mulK <= n; k++){
            ans += n / (mulK * 10) * mulK + Math.min(Math.max(n % (mulK * 10) - mulK + 1, 0), mulK);
            mulK *= 10;
        }

        return ans;
    }
}