从“无人机飞控系统”深入浅出学《现代控制理论》_无人机要学现代还是经典线性理论-优快云博客

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无人机，特别是多旋翼无人机，已经成为现代科技的一个缩影。它们广泛应用于航拍、农业、物流等领域，其背后是精密的飞行控制系统（飞控系统）。飞控系统是无人机的大脑，而现代控制理论则是构建这个大脑的基石。本文将以无人机飞控系统为例，结合《现代控制理论》一书的核心概念，让看似高深的理论知识变得更加具体和易懂。

绪论：控制理论的魅力与无人机的腾飞

控制理论的魅力在于它能够让系统按照我们的意愿行动。就像无人机一样，我们希望它能够稳定地悬停、精确地飞行、快速地响应指令。控制理论的发展，从经典控制理论的PID控制，到现代控制理论的状态空间方法，再到智能控制，为无人机的飞控系统提供了强大的理论支撑。无人机飞控系统的研究和开发，极大地促进了控制理论的应用，反过来也推动了控制理论的进步。

第 1 章：状态空间表达式——无人机的“内在状态”

要控制无人机，首先要了解它的“内在状态”。现代控制理论引入了状态空间方法，用状态变量来描述系统的内部状态。对于无人机而言，这些状态变量可以是它在三维空间中的位置 ( $x$ , $y$ , $z$ )，可以通过GPS等传感器获取；速度 ( $x˙\dot{x}$ , $y˙\dot{y}$ , $z˙\dot{z}$ )，可以通过GPS或光流等传感器估计；姿态角（俯仰角 $θ\theta$ 、滚转角 $ϕ\phi$ 、偏航角 $ψ\psi$ ），可以通过惯性测量单元（IMU）中的陀螺仪和加速度计等传感器融合得到；以及姿态角速度 ( $θ˙\dot{\theta}$ , $ϕ˙\dot{\phi}$ , $ψ˙\dot{\psi}$ )，也可以通过IMU直接测量。

状态空间表达式则描述了这些状态变量如何随时间变化，以及如何受输入（例如电机的电压或期望转速）和输出（例如各种传感器的测量值）的影响。它包括两个核心方程：

状态方程：描述状态变量的变化率与当前状态和输入之间的关系。
$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$
其中， $x(t)=[x,y,z,x˙,y˙,z˙,θ,ϕ,ψ,θ˙,ϕ˙,ψ˙]T\mathbf{x}(t) = [x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, \theta, \phi, \psi, \dot{\theta}, \dot{\phi}, \dot{\psi}]^T$ 是状态向量， $u(t)\mathbf{u}(t)$ 是输入向量（例如四个电机的控制输入）， $A\mathbf{A}$ 是系统的状态矩阵，它描述了系统内部状态如何相互影响； $B\mathbf{B}$ 是控制矩阵，它描述了控制输入如何影响状态变量的变化率。对于无人机，状态方程体现了牛顿运动定律和欧拉角运动学方程。
输出方程：描述系统的输出与当前状态和输入之间的关系。
$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t)$
其中， $y(t)\mathbf{y}(t)$ 是输出向量（例如GPS位置、IMU角度等测量值）， $C\mathbf{C}$ 是输出矩阵，它描述了哪些状态变量可以被直接测量； $D\mathbf{D}$ 是直接传递矩阵，在许多物理系统中，控制输入通常不会直接影响输出，因此 $D\mathbf{D}$ 通常为零矩阵。对于无人机，输出方程描述了传感器是如何“看到”无人机的状态的。状态变量的选择不是唯一的，通过状态矢量的线性变换，我们可以用不同的变量来描述同一个系统的状态，这就像从不同的坐标系观察无人机。

建立无人机状态空间表达式的过程，就像是给无人机进行“建模”，我们需要根据无人机的空气动力学、电机特性等物理原理，推导出状态方程和输出方程中的各个矩阵。这个模型越精确，我们对无人机的控制就越精确。

第 2 章：状态方程的解——预见无人机的未来轨迹

有了状态空间表达式，我们就可以在理论上“预见”无人机的未来轨迹。通过求解状态方程，我们可以知道在给定初始状态和控制输入的情况下，无人机的状态将如何随时间演变。

对于线性定常系统（例如，假设无人机在平衡状态附近做小范围运动，可以近似为线性定常系统），其齐次状态方程 $x˙(t)=Ax(t)\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)$ 的解涉及到状态转移矩阵 $Φ(t)=eAt\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t}$ 。状态转移矩阵具有重要的性质，例如 $Φ(0)=I\mathbf{\Phi}(0) = \mathbf{I}$ （单位矩阵）， $Φ−1(t)=Φ(−t)\mathbf{\Phi}^{-1}(t) = \mathbf{\Phi}(-t)$ ， $Φ(t1+t2)=Φ(t1)Φ(t2)\mathbf{\Phi}(t_1 + t_2) = \mathbf{\Phi}(t_1)\mathbf{\Phi}(t_2)$ 。它可以理解为系统状态在没有外部输入作用下，仅由初始状态驱动的演化过程，就像无人机在没有控制输入的情况下，由于自身惯性而产生的运动。计算状态转移矩阵的方法有很多，例如拉普拉斯变换法、级数展开法等。

而当存在控制输入时，线性定常系统非齐次状态方程 $x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$ 的解可以表示为：

$\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t} e^{\mathbf{A}(t-\tau)}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)d\tau$

这个公式清晰地表明，无人机在 $t$ 时刻的状态 $x(t)\mathbf{x}(t)$ 是由两部分线性叠加而成：

$eAtx(0)e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0)$ ：初始状态 $x(0)\mathbf{x}(0)$ 的自由响应，描述了系统在初始条件作用下的固有动态特性。
$∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ\int_{0}^{t} e^{\mathbf{A}(t-\tau)}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)d\tau$ ：控制输入 $u(t)\mathbf{u}(t)$ 引起的强迫响应，描述了外部输入对系统状态的影响。

通过这个公式，结合数值积分等方法，我们可以在给定控制输入序列下，预测无人机在未来任意时刻的位置、速度和姿态，这为无人机的轨迹规划和控制算法设计提供了理论基础。

第 3 章：能控性与能观性——无人机是否“听话”和“可知”

在设计无人机飞控系统时，我们需要确保无人机是“听话”和“可知”的。

能控性：无人机是否“听话”？也就是说，我们是否可以通过合理设计的控制输入（例如调节电机转速）来驱动无人机从任意初始状态转移到任意期望的最终状态。对于线性定常系统，可以通过判断能控性矩阵 $Qc=[B,AB,A2B,...,An−1B]\mathbf{Q}_c = [\mathbf{B}, \mathbf{AB}, \mathbf{A}^2\mathbf{B}, ..., \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}]$ 的秩是否为 $n$ （ $n$ 为状态变量的个数）来判断。如果 $rank(Qc)=n\text{rank}(\mathbf{Q}_c) = n$ ，则系统是状态完全能控的，意味着我们可以通过控制输入将无人机引导到任何期望的状态。
能观性：无人机是否“可知”？也就是说，我们是否可以通过外部的测量输出信号（例如传感器数据）来唯一确定无人机的内部状态。对于线性定常系统，可以通过判断能观性矩阵 $Qo=[CT,ATCT,(AT)2CT,...,(AT)n−1CT]T\mathbf{Q}_o = [\mathbf{C}^T, \mathbf{A}^T\mathbf{C}^T, (\mathbf{A}^T)^2\mathbf{C}^T, ..., (\mathbf{A}^T)^{n-1}\mathbf{C}^T]^T$ 的秩是否为 $n$ 来判断。如果 $rank(Qo)=n\text{rank}(\mathbf{Q}_o) = n$ ，则系统是状态完全能观的，意味着我们可以通过传感器数据准确地估计出无人机的状态。

能控性和能观性是无人机飞控系统分析和设计的两个至关重要的结构特性。如果无人机不是能控的，那么无论我们设计多么精巧的控制算法，都无法将其控制到某些目标状态。如果无人机不是能观的，那么我们无法准确地获取无人机的状态信息，这将严重影响控制系统的性能，甚至导致系统失效。能控性与能观性之间存在对偶关系，这为我们从不同角度分析系统特性提供了便利。通过特定的坐标变换，我们可以将状态空间表达式转化为能控标准型或能观标准型，这些标准型能够更清晰地揭示系统的能控和能观结构。对于复杂系统，还可以进行结构分解，将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不能观四个子系统。传递函数描述了系统的输入输出关系，传递函数阵的实现问题实际上就是在寻找一个具有特定能控性和能观性的状态空间表达式。传递函数中零极点的对消现象，与系统的状态并非完全能控或能观直接相关，意味着系统内部存在不可控或不可观的模式。

第 4 章：稳定性——无人机能否稳如泰山

无人机飞行过程中，最核心的要求就是要保持稳定。想象一下，如果无人机在空中剧烈抖动、无法保持姿态，甚至发生坠毁，那将造成严重后果。因此，稳定性是衡量无人机飞控系统性能的首要指标。

李雅普诺夫稳定性理论为我们提供了分析无人机系统稳定性的强大数学工具。它可以帮助我们判断，在受到外界扰动（例如风力）或内部扰动后，无人机是否能够自动恢复到期望的平衡状态（例如保持悬停）。

李雅普诺夫第一法（间接法）：通过分析无人机在平衡点附近线性化模型的特征值来判断稳定性。如果线性化模型的所有特征值都具有严格负实部，则原非线性系统在该平衡点附近是渐近稳定的。这相当于考察状态转移矩阵 $eAte^{\mathbf{A}t}$ 的指数衰减性。
李雅普诺夫第二法（直接法）：通过构造一个李雅普诺夫函数 $V(x)V(\mathbf{x})$ 来判断稳定性。李雅普诺夫函数就像一个“能量函数”，它是一个标量函数，对于渐近稳定的系统，存在一个正定的李雅普诺夫函数 $V(x)V(\mathbf{x})$ ，使得其沿着系统状态轨迹的导数 $V˙(x)\dot{V}(\mathbf{x})$ 是负定的。可以把李雅普诺夫函数想象成无人机偏离平衡状态的程度的度量，如果这个度量随着时间推移不断减小，最终趋于零，那么无人机就能回到稳定状态。对于线性定常系统，常选择二次型函数 $V(x)=xTPxV(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T\mathbf{P}\mathbf{x}$ ，其中 $P\mathbf{P}$ 是一个正定矩阵。通过求解李雅普诺夫方程 $ATP+PA=−Q\mathbf{A}^T\mathbf{P} + \mathbf{P}\mathbf{A} = -\mathbf{Q}$ （其中 $Q\mathbf{Q}$ 是正定矩阵），可以判断系统的稳定性。

第 5 章：线性定常系统的综合——为无人机打造智能大脑

在对无人机系统进行建模、分析其能控性、能观性和稳定性之后，我们就可以开始设计“智能大脑”——控制器了。线性反馈控制是无人机飞控中最常用的控制策略之一。

极点配置是一种经典且重要的线性控制器设计方法。它的核心思想是通过状态反馈，即利用状态变量的线性组合来构成控制输入，从而自由配置闭环系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态性能，例如更快的响应速度和更好的阻尼特性。对于状态完全能控的无人机系统，通过选择合适的反馈增益矩阵 $K\mathbf{K}$ ，总是可以将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。状态反馈控制律通常可以表示为：
$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t)$

其中， $K\mathbf{K}$ 是状态反馈增益矩阵， $v(t)\mathbf{v}(t)$ 是外部参考输入。系统镇定问题是指如何设计反馈控制器使得一个不稳定的系统变得稳定，极点配置是解决系统镇定问题的一种有效方法。对于具有多个输入和输出的无人机系统，系统解耦问题是指设计控制器使得各个输入通道的控制作用互不影响，从而简化控制设计。

然而，在实际应用中，无人机的全部状态变量并不总是能够直接测量。这时，我们就需要用到状态观测器。状态观测器是一个动态系统，它利用无人机的可测量输出和控制输入来估计那些无法直接测量的状态变量。对于状态完全能观的无人机系统，我们可以设计状态观测器来估计其全部状态。最常用的状态观测器是全维状态观测器，其动态方程为：

$x^˙(t)=Ax^(t)+Bu(t)+L(y(t)−Cx^(t)) \dot{\mathbf{\hat{x}}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{\hat{x}}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\mathbf{\hat{x}}(t))$

其中， $x^(t)\mathbf{\hat{x}}(t)$ 是状态估计值， $L\mathbf{L}$ 是观测器增益矩阵。通过合理选择 $L\mathbf{L}$ ，可以使得状态估计误差 $e(t)=x(t)−x^(t)\mathbf{e}(t) = \mathbf{x}(t) - \mathbf{\hat{x}}(t)$ 快速收敛到零。利用状态观测器实现状态反馈的系统是实际工程中常用的控制结构，它结合了状态反馈的良好性能和状态观测器的实用性。

第 6 章：最优控制——让无人机飞得又好又省

在某些对性能有更高要求的应用场景下，我们希望无人机能够以最优的方式完成飞行任务，例如以最短的时间到达目标点，或者以最小的能量消耗完成巡航。这时，我们就需要用到最优控制理论。

研究最优控制的前提条件是需要建立精确的系统模型，明确控制目标和约束条件。对于无人机而言，控制目标可以是时间最短、能耗最小、误差最小等。静态最优化问题研究的是在没有时间动态性的约束下如何选择最优的控制变量。而无人机的控制是一个动态过程，需要考虑时间的影响。离散时间系统的最优控制问题可以通过动态规划等方法求解。对于连续时间系统的最优控制问题，我们需要用到泛函和变分法。泛函是定义在函数空间上的实值函数，例如无人机飞行轨迹的长度或消耗的能量都可以表示为关于控制函数的泛函。变分法用于求解使泛函取极值的函数，这相当于寻找最优的控制策略。求解连续系统最优控制问题的常用方法包括利用变分法求解连续系统最优控制问题和极小值原理。极小值原理给出了最优控制律必须满足的必要条件，它将一个无限维的优化问题转化为一个有限维的优化问题。Bang-Bang 控制是一种特殊形式的最优控制，其控制变量只能取最大值或最小值，例如无人机在时间最优控制中可能采用全速或零速的控制策略。双积分系统的时间最优控制是控制理论中的一个经典案例，可以用来分析无人机在特定简化模型下的时间最优轨迹。动态规划法是求解最优控制问题的另一种重要方法，它基于贝尔曼最优性原理，将一个复杂的最优化问题分解为一系列简单的子问题来求解。线性二次型最优控制问题 (LQR) 是一类具有解析解的最优控制问题，其目标是最小化二次型性能指标，常用于设计无人机的姿态稳定控制器。线性二次型次优控制问题则是在实际工程约束下对LQR问题的近似求解。

总结

通过以上介绍，我们可以清晰地看到，《现代控制理论》中的核心概念与无人机飞控系统的设计和分析紧密相连。从状态空间建模到能控性、能观性分析，从稳定性判据到控制器设计，再到最优控制策略，现代控制理论为无人机的自主飞行提供了坚实的理论基础和方法支撑。深入理解这些理论知识，不仅能够帮助我们更好地理解无人机的工作原理，更能为我们设计出更加先进、可靠、高效的无人机控制系统提供强大的工具。可以说，现代控制理论是无人机能够翱翔蓝天的强大引擎。