美赛数学建模之目标规划

一、应用场合：线性规划只能解决一组线性条件约束下，一个目标的最大值或最小值的问题。然而在实际决策中，衡量方案优劣需要考虑多个目标，这时就需要用到多目标规划。

二、基本概念
1.正、负偏差变量
 设 $f_i(i=1,\cdots ,l)$为第 i 个目标函数，它的正偏差变量 di+=max{fi−di0,0}d_i^+ = max\{ f_i - d_i^0,0\}di+​=max{fi​−di0​,0} 表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量 di−=−min{fi−di0,0}d_i^- = -min\{ f_i - d_i^0,0\}di−​=−min{fi​−di0​,0} 表示决策值未达到目标值的部分，这里 $d_i^0$ 表示 $f_i$ 的目标值。决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有 $d_i^{+}\ast d_i^{-}=0$ 。

2.刚性(绝对)约束和目标(柔性)约束
 刚性约束是指必须严格满足的等式约束与不等式约束，如线性规划问题的所有约束条件；而目标约束是目标规划特有的，在达到目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，以表示和目标值的实际差距情况。

3.优先因子（优先等级）与权系数
 对于多目标的规划问题，目标之间往往存在主次或轻重缓急之分，因此引入优先因子（第一级）与权系数（第二级）来划分目标之间的优先级。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 $P_1$ ，次位为 $P_2$ ，以此类推。

4.目标函数
 按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造。当每一目标值确定后，应尽可能缩小偏离目标值，因此目标规划的目标函数只能是所有偏差变量的加权和。其基本形式有三种：
   (1)第 i 个目标要求刚好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 $$\min w_i^{-}{d}_i^{-}+w_i^{+}{d}_i^{+}$$    (2)第 i 个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时 $$\min w_i^{+}{d}_i^{+}$$    (3)第 i 个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能小，这时 $$\min w_i^{-}{d}_i^{-}$$
三、一般数学模型
  设 $x_j(j=1,2,\cdots ,n)$ 是目标规划的决策变量，共有 $m$ 个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有 $l$ 个柔性目标约束，其目标约束的偏差为 $d_i^{+},d_i^{-}=(i=1,2,\cdots ,l)$ 。设有 $q$ 个优先级别，分别为 $P_1,P_2,\cdots ,P_q$ 。在同一个优先级 $P_k$ 中有不同的权重，分别记为 $w_{ki}^{+},w_{ki}^{-}(i=1,2,\cdots ,l)$ 。因此目标规划模型的一般数学表达式为：$$\min z=\sum _{k=1}^q{P}_k\left(\sum _{i=1}^l{w}_{ki}^{-}{d}_i^{-}+w_{ki}^{+}{d}_i^{+}\right)$$ $$s.t.\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{tj}{x}_j\le (=,\ge )b_t,& \text{t = 1,…,m}\\ {\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}{x}_j+d_i^{-}-d_i^{+}=d_i^0,& \text{i = 1,2,…,l}\\ x_j\ge 0,& \text{j = 1,2,…,n}\\ d_i^{-},d_i^{+}\ge 0,& \text{i = 1,2,…,l}\end{array}$$
四、基于MATLAB R2014a的多目标规划解法
1.工具函数
  多目标规划可以归结为$$\underset{x,\gamma }{\min }\gamma ,$$ $$s.t.\{\begin{array}{l}F(x)-weight\ast \gamma \le goal,\\ A\ast x\le b,\\ Aeq\ast x=beq,\\ c(x)\le 0,\\ ceq(x)=0,\\ lb\le x\le ub。\end{array}$$ 式中：$x、weight、goal、b、beq、lb和ub$ 为向量；$A和Aeq$ 为矩阵；$c(x),ceq(x)和F(x)$ 为向量函数(可为非线性)；F(x)为所考虑的目标函数；goal为与达到的目标。故多目标规划的Matlab函数fgoalattain用法为：

[x,fval] = fgoalattain('fun',x0,goal,weight)
[x,fval] = fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b)
[x,fval] = fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

其中：fun 为用M文件定义的目标向量函数，x0 为初值，weight 为权重。A 、b定义不等式约束 $A\ast x\le b$ ，Aeq 、beq 定义等式约束 $Aeq\ast x=beq$ ，nonclon 是用M文件定义的非线性约束 $c(x)\le 0，ceq(x)=0$ 。返回值 fval 是目标向量函数的值。

2.实例
求解多目标线性规划问题
$$\max Z_1=100x_1+90x_2+80x_3+70x$$ $$\min Z_2=3x_2+2x_4$$ $$s.t.\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2\ge 30,& \\ x_3+x_4\ge 30,& \\ 3x_1+2x_3\le 120,& \\ 3x_2+2x_4\le 48,& \\ x_i\ge 0，& \text{i = 1,…,4}\end{array}$$ 编写MATLAB程序如下：

clc,clear
% % 构造约束条件系数矩阵，默认不等式约束条件为<=，若为>=则不等式两边同时乘以-1
a = [-1 -1 0 0
    0 0 -1 -1
    3 0 2 0
    0 3 0 2];
% % 构造目标值矩阵
b = [-30 -30 120 48]';
% % 构造目标系数矩阵，默认目标为min，若为max则写为(-min)
c1 = [-100 -90 -80 -70];
c2 = [0 3 0 2];
fun = @(x)[c1;c2] * x;                      % 用匿名函数定义目标向量
[x1,g1] = linprog(c1,a,b,[],[],zeros(4,1))  % 求第一个目标函数的目标值
[x2,g2] = linprog(c2,a,b,[],[],zeros(4,1))  % 求第二个目标函数的目标值
g3 = [g1;g2];                               % 目标goal的值
[x,fval] = fgoalattain(fun,rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,[],[],zeros(4,1))

运行结果如图。需要注意的是，因为在编程时 max 被指定为 -min ，因此计算出来的第一个结果还需要乘以 -1后才是实际目标值。