快速幂运算

1.乘方取模问题：

给定正整数x,n,m,计算x^n(mod m)。

最简单代码，复杂度为O(n)：

ll res=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
    res=res*x%m;
}

2、快速幂，将n表示为2的幂次的和：，可以将x^n转化为：，依次由n的二进制位求x^2ki即可，复杂度降为O(logn)。例如，x^23=x^16*x^4*x^2*x(23二进制数是10111)。

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll res=1;
	while(n>0)
	{		
		if(n&1) res=(res*x)%mod;
		x=x*x%mod;//底数不断平方
		n>>=1;
	}
	return res;
 } 

x为偶数时 x^n=(x^2)^n/2;x为奇数时，x^n=(x^2)^n/2*x,不断递归转为n/2情况，可以在O(logn)时间内完成幂运算：

ll mod_pow(ll x,ll n,int mod)
{
	if(n==0) return 1;
	ll res=mod_pow(x*x%mod,n/2,mod);
	if(n&1) res=res*x%mod;
	return res;
} 

3.矩阵快速幂

将上面整数的快速幂中乘法换成矩阵乘法即可。

typedef long long ll;
struct matrix{
	ll v[5][5];
	matrix(){memset(v,0,sizeof(v));}
};
//矩阵乘法
matrix matrix_multi(matrix x,matrix y,ll mod)
{
	matrix res;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		for(int j=1;j<=N;j++)
			if(x.v[i][j])//优化
				for(int k=1;k<=N;k++)
				{
					res.v[i][k]+=x.v[i][j]*y.v[j][k];
					res.v[i][k]%=mod;
				}
	return res;
}
//快速幂
matrix matrix_pow(matrix x,ll n,ll mod)
{
	matrix res;
	//初始化为单位矩阵 
	for(int i=1;i<=N;i++)
		res.v[i][i]=1;
	while(n>0)
	{
		if(n&1) res=matrix_multi(res,x,mod);
		x=matrix_multi(x,x,mod);
		n>>=1;
	}
	return res;
}