【Leetcode】62. 不同路径【动态规划】

最新推荐文章于 2024-04-28 11:17:38 发布

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博客探讨机器人在mxn网格中从左上角到右下角的路径数量问题，规定机器人每次只能向下或向右移动一步。通过动态规划方法求解，定义dp[i][j]表示从起点到(i,j)的路径数，当i=1或j=1时dp[i][j]=1，其余情况dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一个机器人位于一个 $m x n$ 网格的左上角（起始点在下图中标记为“ $S t a r t$ ” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“ $F i n i s h$ ”）。

问总共有多少条不同的路径？

在这里插入图片描述

例如，上图是一个 $7 x 3$ 的网格。有多少可能的路径？

说明： $m$ 和 $n$ 的值均不超过 $100$ 。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

思路：动态规划。

$d p [i] [j]$ 表示从 $s t a r t$ 到 $(i, j)$ 有多少条路径
当 $i = 1$ 或 $j = 1$ 时，此时只存在一条路径，因此 $d p [i] [j] = 1$
对于其余地点，可能是从其左边向右移动一格或从其上方向下移动一格到达终点，因此有 $d p [i] [j] = d p [i - 1] [j] + d p [i] [j - 1]$

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (i == 1 || j == 1)
                    dp[i][j] = 1;
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};