【剑指offer】孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数$m$,让编号为$0$的小朋友开始报数。每次喊到$m-1$的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续$0...m-1$报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从$0$到$n-1$)

思路：

1）约瑟夫环问题。采用一个环来存储序号，当报数到$m$时，将该序号从环中删除，然后从下一个序号开始计数，当遍历到$n-1$时，下一个遍历$0$，让其形成一个环；在这里采用$list$链表来实现，判断条件为当链表元素只剩一个时退出。

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if (n < 0 || m < 1)
            return -1;
        int i = 0;
        list<int> number;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            number.push_back(i);
        list<int>::iterator current = number.begin();
        while (number.size() > 1) {
            for (int i = 1; i < m; ++i) {
                current++;
                if (current == number.end())
                    current = number.begin();
            }
            list<int>::iterator next = ++current;
            if (next == number.end())
                next = number.begin();
            --current;
            number.erase(current);
            current = next;
        }
        return *current;
    }
};

2）数学方法推导

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/f78a359491e64a50bce2d89cff857eb6
来源：牛客网
如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨 论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：$n$个人（编号$0(n-1)$)，从$0$开始报数，报到$(m-1)$的退出，剩下的人 继续从$0$开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是$m$%$n-1$) 出列之后，剩下的$n-1$个人组成了一个新 的约瑟夫环（以编号为$k$=$m$%$n$的人开始）:
$k$ $k+1$ $k+2$ … $n-2$, $n-1$, $0,1,2,...k-2$并且从$k$开始报$0$。
现在我们把他们的编号做一下转换：
$k-->0$
$k+1-->1$
$k+2-->2$
…
…
$k-2-->n-2$
$k-1-->n-1$
变换后就完完全全成为了($n-1$)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如$x$是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个$x$变回去不刚好就是$n$个人情 况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：$x^{\prime }=(x+k)$%$n$。
令$f[i]$表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是$f[n]$。
递推公式
$f[1]=0;$
$f[i]=(f[i-1]+m)$
有了这个公式，我们要做的就是从$1-n$顺序算出$f[i]$的数值，最后结果是$f[n]$。 因为实际生活中编号总是从$1$开始，我们输出$f[n]+1$。

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if (n < 1 || m < 1)
            return -1;
        int last = 0;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            last = (last + m) % i;
        }
        return last;
    }
};