剑指Offer——面试题45：圆圈中最后剩下的数字

圆圈中最后剩下的数字

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题目：0,1,…,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

输入：5，3

输出：3

两个解法：第一个、是经典的解法，用环形链表模拟圆圈

第二个、分析每次被删除的数字的规律，利用动态规划解决问题

思路：下面，我们主要介绍，用动态规划来解决问题的方式。
1、首先，我们定义一个关于n、m的方程：f(n,m)，该方程表示在n个数字中每次删除第m个数字最后剩下的数字
根据1中的定义，我们可知 f(n-1,m)表示在n-1个数字中每次删除第m个数字最后剩下的数字。那么f(n,m) 与 f(n-1,m) 有什么关系呢？
我们可以想到在n个数字中删除第m个数字后，那么n个数字就变成了n-1个数字，只是这n-1个数字是从 m , m+1…n-1, 0, 1,…m-2。于是，我们就想可不可以将 f(n,m) 在删除第m个数字后，进行映射，将上述{m , m+1…n-1, 0, 1,…m-2}映射成{0, 1, 2, … n-2}
2、于是，我们构建一个映射，将{m , m+1…n-1, 0, 1,…m-2}映射成{0, 1, 2, … n-2}，很容易想到p(x) = (x-m)%n，那么该映射的逆映射就是(x+m)%n
3、于是，就将 f(n,m) = [ f(n-1,m) + m ] % n (n>1)，当n=1时，f(n,m)=f(n-1,m)=0，联系起来，即递归式写出来了

/*
思路：利用动态规划，找出f(n,m)与f(n,m-1)的递推关系，然后编程即可
     f(n,m)的值表示n个数字中每次删除第m个数字，删除第m个数字后，从m+1开始计数，最终剩下的那个数字
*/
class Solution {
public:
    /*
    这是递归的做法
    */
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1){
            return -1;
        }
        if(n==1){
            return 0;
        }
        return (LastRemaining_Solution(n-1,m) + m ) % n;
    }

    /*
    这是循环的做法
    */
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1){
            return -1;
        }
        if(n==1){
            return 0;
        }
        int remainNumber=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            remainNumber=( remainNumber + m )%i;
        }
        return remainNumber;
    }
};