xdoj 1019 自然数的秘密

求解n!尾0数目的算法

最新推荐文章于 2024-01-02 08:23:29 发布

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本文探讨了一个数学问题的算法解决方法，通过分解质因数来确定阶乘尾部0的数量，并采用二分查找策略寻找最小的n值，使得n!的尾部恰好包含m个0。

嗯...这次的题解不是找规律了...

这是题目链接：

xdoj 1019 自然数的秘密

题目大意：给出一个数值m，求出n!最后0的位数恰为m的最小的n的值，无解则输出“No solution”。

没错...看到题的第一想法当然是找规律啦，毕竟m的范围达到1e8且为多组数据...首先是想到假设把n!每个数都分解质因数，0的位数自然和5*2的个数有关啦，而2的个数显然远多于5，因此只需考虑分解质因数后5的个数就行了。而因数5的个数自然就和5的倍数有关了，且对于某个满足条件的最小的n，它一定是5的倍数！然后只手动打了一小部分表后没找出简单明了易实现的规律，于是开始思考正经解法。

首先要想到的是，对于某个数n，n!分解后会有多少个质因数5呢？得到的方法很简单，预先打出5的1-12次方的表，将n依次除以表中数据再相加，所得即为质因数5的个数。那么，既然已经知道了n!的质因数5的个数了，是不是也代表知道了n!后的0的个数了？答案显然是的。因此就可以想到二分答案，左端点为0，右端点为5*m（显然1-5*m中至少含有m个5的倍数）。但是二分的话，问题又来了——当m的值“No solution”呢？比如说m=5时，当n=24时，0的个数为4，当n=25时，0的个数为6，直接二分是会死循环的。那么对于这种情况，就需要考虑当二分过程中左端点等于右端点时，端点值是否是5的k次方的倍数（k=2,...,12），若是则无解，不是则有解。具体实现还是看代码吧。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int m;
int f[12]={5,25,125,625,3125,15625,78125,390625,1953125,9765625,48828125,244140625};
int erfen(int l,int r){
	int mid,ans,flag=0;
	while(l<=r){
		mid=(l+r)>>1,ans=0,flag=0;
		for(int i=0;i<12;i++){
			if(mid<f[i])
			break;
			ans+=mid/f[i];
			if((mid-mid%5)%f[i]==0){
				flag++;
			} 
		}
		if(l==r){
			if(flag>=2)
			return -1;
			break;
		}
		if(ans<m){
			l=mid+1;
		}
		else if(ans>m){
			r=mid;
		}
		else if(ans==m){
			break;
		}
	}
	return mid-(mid%5);
}
int main(){
	int t,tmp;
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>m;
		if(m==0){
			cout<<0<<endl;
			continue;
		}
		tmp=m*5;
		int ans=erfen(0,tmp);
		if(ans==-1)
		cout<<"No solution"<<endl;
		else
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0; 
}