Leetcode5：Longest Palindromic Substring

题目描述

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

Example 1:

Input: "babad"
Output: "bab"
Note: "aba" is also a valid answer.

Example 2:

Input: "cbbd"
Output: "bb"

分析

最长回文子串，使用Manacher’s Algorithm可在线性时间内求解。算法的详细讲解和证明读者可以自行Google，这里只是讲一下具体的实现。

首先需要预处理输入字符串，在每个字符的前后加上一个相同的字符，在字符串的最前面再加上另一个不同的字符。比如输入为bob，那么预处理后的字符串可以是！#b#o#b#，一共8个字符。最前面的字符可以随意选取，中间的字符一般为#，当然也可以自由选取。然后需要一个数组用来记录以当前字符为中心的回文子串的半径，注意这里是半径。比如上面的bob例子，处理过后，第一个b的半径就应该为2。最开始这个数组初始化为0，然后需要用一个变量reid来存储最长回文子串的中心元素的下标，remx来存储最长回文子串的半径。注意这里所说的下标和半径都是针对处理过后的字符串而言，求出最后结果还需要进行处理。另外还需要两个变量，id用来存储当前遍历字符的下标，mx用来存储以当前字符为中心的回文子串的最右边字符的下标。上面四个变量都初始化为0。

初始化结束以后就可以开始遍历字符串中的每个字符了。用i表示当前字符的下标，首先需要求解p[i]。当mx > i时，p[i] = min(p[2*id-i]，mx-i)。否则，p[i] = 1。这个公式的具体讲解和证明这里不再说明。然后开始循环求解p[i]的最大值，即判断temp[i-p[i]]是否等于temp[i+p[i]]，temp为处理过后的字符串。如果相等，p[i]加1，需要注意边界条件。

接着开始更新变量的值。如果mx < i + p[i]，则mx = i + p[i]，id = i。如果remx < p[i]，则remx = p[i]，reid = i。这个公式是这个算法最重要的核心，如果能够理解尽量理解，不能理解也要硬记住。大概意思是，如果mx小于当前能够到达的最右边界，则更新mx为最右边界，id为当前下标。如果remx小于当前半径，则更新remx为当前半径，reid为当前下标。只要记住每个变量所表示的含义，记住这个式子应该不难。remx和reid记录的是结果，而mx和id主要是为了上一步求解p[i]的简化。其实Manacher’s Algorithm快就快在求解p[i]上面，所以mx和id这两个变量就是关键所在。最后结果子串的起始位置为(reid-remx)/2，长度为remx-1，这两个值针对的就是原始输入字符串了。

AC代码如下：

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        string temp = "!#";//处理后的字符串
        int length = s.length();
        for(int i = 0; i < length; ++i)//字符串处理
        {
        	temp += s[i];
        	temp += '#';
		}
		length = temp.length();
		int* p = new int[length];//半径
		memset(p, 0, length*sizeof(int));//初始化为0
		int remx = 0, reid = 0, mx = 0, id = 0;
		
		for(int i = 0; i < length; ++i)
		{
			if(mx  > i)//求解p[i]
			{
				p[i] = min(p[2*id - i], mx - i);
			}
			else
			{
				p[i] = 1;
			}
			while((i - p[i] >= 0) && (temp[i + p[i]] == temp[i - p[i]]))//求p[i]的最大值
			{
				++p[i];
			}
			if(mx < i + p[i])//更新右边界
			{
				mx = i + p[i];
				id = i;
			}
			if(remx < p[i])//更新结果半径和中心下标
			{
				remx = p[i];
				reid = i;
			}
		}
		
		return s.substr((reid-remx)/2, remx-1);//返回结果子串，针对原始输入
    }
};