UVa 11300 - Spreading the Wealth (数学/递推)

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题目描述：

圆桌旁坐着n个人，每个人有一定数目的金币，金币总数能被n整除。每个人可以给相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数目相等，求被转手的金币数量的最小值。

输入第一行为整数n

接下来n行每行代表第i个人持有的金币数Ai

输出:被转手金币的最小值。

分析：首先每个人的最终状态我们是能确定的，因为最终金币相等，我们在读取时累计，读取结束后 m = sum / n 就是这个最终值。

令xi : 第i个人给了第i-1个人多少个金币（因为是一个圆桌，所以第1个人左边是第n个人，即当i = 1时 i-1 = n)

xi<0时相当于第i-1个人给第i个人金币

那么对每一个人来说： m = Ai - xi + x(i+1) 为什么不考虑i给i+1个人多少金币 因为这是可以相互转化的，比如1号给2号金币 然后2号又给1号金币 这样可以都转化为2号给1号金币

那么 x1 = Ai + x2 - m 

 x(i+1) = m - Ai + xi-1

         即 x2 = m - A2 + x1     = x1 - C1

      x3 = m - A2 + x2 = m-A3 +(m - A2 + x1) = 2*m - A3 - A2 +x1 = x1-C2

····

递推时发现每个xi都可以用一个常数+x1来代替

这样我们可以得到n个等式，但由于xn是可以由x1和xn-1得到的，所以我们实际上只得到了n-1个等式。

这样，我们换个角度，我们希望所有xi的绝对值之和尽量小，即|x1| + |x1 -C1| + |x-C2|+```|x1-Cn-1| 尽量小

把每一个C放到数轴上，我们要求的就是x1的位置，使得x1到所有C的距离之和最小

答案是： x1是所有C这个序列的中位数

实际上这是一个邮局选址问题：

证明过程

明确上面几步，我们可以开始求解

第一步 求出每个人最终手中有多少金币，答案就是总金币数/n

第二步 求出每个C

第三部 利用上面的证明结论求出结果

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL A[1000000 + 5];
LL C[1000000 + 5];
int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		LL m = 0;
		LL s = 0;
		for(int i =1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lld",&A[i]);
			s += A[i];
		}
		m = s / n;
		C[0] = 0;
		for(int i = 1;i<n;i++)
		{
			C[i] = C[i-1] + A[i] - m;    //递推求出C 
		}
		sort(C,C+n);
		LL x = C[n/2]; 		//x1的选址 
		LL ans = 0;
		for(int i = 0;i<n;i++)
		{
			ans += abs(x - C[i]);  //求出距离 
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}