循环不变式-以求最大值和插入排序为例

循环不变式（loop invariants）不只是一种计算机科学的思想，准确地说是一种数学思想。在数学上阐述了通过循环（迭代、递归）去计算一个累计的目标值的正确性，属于基础数学的范畴，而且在计算机上也应用广泛。利用循环不变式可以帮助我们理解算法的正确性。

1、循环不变式的三条性质

初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。
保持：如果循环的每次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。
终止:在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

2、案例1-求数组中的最大值

max = array[n];			
while(n--) {
	if(array[n] > max) 
		max = array[n];
}

循环不变式可以表述为以下形式，当n = 0时循环结束。
$max=maximum(array[n:n_0)),n_0=n$

• 初始化：刚开始 $n=n_0$，区间内只有一个元素，循环不变式成立。
• 保持：当n递减后，由于区间$[n,n_0)$包含索引为n的元素，这个元素有可能会大于max，在if语句执行后，不变式被重新建立。
• 终止：当n=0时，循环结束。

3、案例2-插入排序(伪代码）

ps:数组下标从1开始。更详细的描述请参考《算法导论》插入排序。

INSERTION-SORT(A)
for j = 2 to A.length
	key = A[j]
	//Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]
	i = j - 1
	while i > 0 and A[i] > key
		A[i + 1] = A[i]
		i = i - 1
	A[i + 1] = key

• 初始化：在第一次循环迭代之前（当j=2）时，子数组A[1…j-1]仅由单个元素A[1]组成，所以子数组是排序好的，这表明第一次循环之前循环不变式成立
• 保持：for循环将所有大于key的元素向右移动一个位置，直到找到A[j]的适当位置然后插入。一次循环结束时A[1…j]的元素已经是有序的状态。这时，j = j + 1使得进入下一次迭代时循环不变式保持不变。
• 终止：有前面的分析可知，每次循环结束时的状态是这样的：j指向下一个待排序的元素，A[1…j-1]为有序状态。当j = A.length + 1时循环结束，整个数组已排序，因此算法正确。

4、关于循环不变式的一些思考

正如开头说的，循环不变式在数学上阐述了通过循环（迭代、递归）去计算一个累计的目标值的正确性，重点就在“累计”这两个字上，以用迭代和递归两种方法求最大值来看，他们不断的扩张正确域，当正确域和问题域一样大时得出最终答案。