【JZ-14-I】剪绳子（数学、动态规划）

题目

参考1

参考2

方法一-动态规划

用一个数组 dp 记录从 0 到 n 长度的绳子剪掉后的最大乘积，即 $dp[i]$ 表示长度为 i 的绳子剪成 m 段后的最大乘积，初始化 $dp[2]=1$，最终返回$dp[n]$（数组大小需要设为$n+1$）。
假设已经减掉了长度为 j 的第一段，为了使得最后的乘积最大，从长度为2开始剪，即第一段长度 j 的取值范围为$[2,i)$。剩下的 ( i - j )长度的绳子可以剪也可以不剪，不剪的话长度乘积为 $j\ast (i-j)$；剪的话长度乘积为 $j\ast dp[i-j]$。为了使得长度乘积最大，我们取两者中的最大值。
故$dp[i]$的转移方程为：$$dp[i]=max(dp[i],max(j\ast (i-j),j\ast dp[i-j]))$$

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i < n + 1; i++){
            for(int j = 2; j < i; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

notes：
这里的转移方程里还考虑了 $dp[i]$ ，是因为$j$的取值是不确定的，不同的$j$会有不同的结果。

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

方法二-贪心算法（数学）

由算数-几何平均值不等式可知，剪成相等长度的m段时乘积最大。
接下来考虑相等的每一段的长度为多少时乘积最大。设该长度为 $x$，分为$a$段，$n=ax$，则乘积为$x^a=x^{\frac{n}{x}}=(x^{\frac{1}{x}}{)}^n$，其中$n$为常数，那么要求$x^a$的最大值，也就是求$y=x^{\frac{1}{x}}$的最大值。
两边取对数、对x求导后可得驻点$x_0=e\approx 2.7$，且$$\frac{dy}{dx}\{\begin{array}{l}>0,x\in [-\infty ,e)\\ <0,x\in (e,\infty ]\end{array}$$取最接近 e 的整数2或3，计算可知$x=3$时乘积最大。
也就是说，尽可能将绳子以长度3等分为多段时，总的长度乘积最大。
切分时会有3种可能情况：

1. 刚好能剪成若干个长度为3的段
2. 最后剩下长度为2的一段，此时应保留该段，不再继续剪成两个长度为1的段
3. 最后剩下长度为1的一段，此时应将上一个长度为3的段跟这一段合并（4 > 3 * 1）

具体算法流程：

1. n = 2时返回1，n = 3时返回2，即n < 4时返回n -1
2. n >= 4时，计算出$n=3a+b$中的 a 和 b：
   b = 0时，直接返回$3^a$；
   b = 1时，返回$3^{a-1}\times 4$;
   b = 2时，返回$3^a\times 2$

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if( n < 4)return n - 1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if(b == 0)return (int)Math.pow(3, a);
        if(b == 1)return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
        return (int)Math.pow(3, a) * 2;
    }
}

• 时间复杂度：$O(1)$，只有取整、取余、次方运算，注意math.pow()调用C库的pow()函数，执行浮点取幂，时间复杂度为$O(1)$
• 空间复杂度：$O(1)$