提纲

数据结构

基础

1. 栈，队列，并查集，数组，链表，$ST$表，哈希表
2. 分块：
3. 莫队：
4. 线段树：
5. 权值线段树：
6. 动态开点线段树：当初始序列为空或者答案的统计与初始序列无关时可使用动态开点，每一次修改最多加入logn个点，如此在数据范围较大时可实现$O(klogn)$的复杂度
7. 李超树：
8. 线段树合并：
9. 树状数组：
10. 单调队列：
    * 队首是最优值，放入一个元素时将队尾比当前元素劣的元素出队
    * 先进先失效，后进后失效（与队列性质有关$FIFO$）
    * 越劣的元素失效越快
11. 单调栈：
    * 栈顶是最优值，放入一个元素时将栈顶比当前元素优的元素出栈
    * 先进后失效，后进先失效（与栈的性质有关$FILO$）
    * 约优的元素失效越快
12. $Splay$：
13. $LCT$：
14. 可并堆左偏树：
15. 虚树：

嵌套

1. 总述：外层数据结构的每个节点都用一个内层数据结构处理
2. 线段树套线段树
3. 线段树套平衡树
4. 树状数组套主席树
5. 替罪羊树套主席树

可持久化

1. 主席树：
2. 可持久化字典树：
3. 可持久化平衡树：

动态规划

设计

1. 设计状态：由少到多以能够描述问题，由多到少简化状态
2. 设计转移：
3. 类型
   * 线性$dp$
   * 树形$dp$
   * 数位$dp$
   * 状压$dp$
   * 背包
   * $dp$套$dp$
   * 插头$dp$
   * 计数类$dp(容斥dp)$：设计好状态，一般将状态设为不小于或不大于某个值$i$的方案数更容易处理。转移时从上一层的$i和i-1(或i+1)$两个状态转移而来即可。对于恰好等于一类问题，按照以上方法设置状态后利用容斥原理更容易设计$dp$

优化

1. 数据结构：常常作为斜率优化，决策单调性等优化方法的辅助
2. 斜率优化：可应用单调队列，线段树，平衡树等多种数据结构维护最优斜率
3. 决策单调性：
   * 打表确定性质
   * 单调栈(单调队列)+二分维护决策空间
   * 比较简单的直接用单调队列即可维护
   * 更普适的做法是整体二分维护决策空间
4. wqs二分：
5. 单调队列使用要求：
   * 决策空间的上下界变化具有的单调性
   * $val(i,j)$中的每一项仅与$i$和$j$中的一个有关
   决策单调性使用要求：
   * 最优决策点具有单调性
   * $val(i,j)$中的每一项不需要仅与$i$和$j$中的一个有关

图论

基础

1. 最短路
2. $DAG$
3. $Tarjan$，点双，边双，强连通分量，$e-DCC$，$v-DCC$
4. 欧拉回路，哈密尔顿环
5. 差分约束
6. $2-SAT$
7. 各种生成树

网络流

算法

1. $Dinic$
2. $EK$费用流

模型

1. 最大权闭合图：按照最小割分集合模型设计理解
2. 最小割可行边，必须边
3. 最大密度子图
4. 分数规划
5. 二分图
   * 01染色法
   * 最小点覆盖
   * 最大独立集
   * 最小路径点覆盖
   * 可行边，必须边
6. 上下界网络流
   * 无源汇上下界可行流
   * 有源汇上下界可行流
   * 有源汇上下界最大，最小流
   * 有源汇上下界最小费用可行流
7. 性质
   * 最小点覆盖=最大独立集
   * 最大匹配=最大流=最小割
   * 二分图中最小点覆盖=最大匹配
   * 常用：二分图中 最大独立集=最小点覆盖=最大匹配=最大流=最小割
8. 最小割分集合模型：将所有元素分为两集合并获得最大收益
   * 可将最大化收益转化为最小化代价：先将所有收益都选取，即每个元素向两个集合$(S和T)$都连边，求出最小割并去除这些收益，便可将所有元素划分到两个集合中，并且损失的代价是最小的。
9. 小技巧：
   * 点边转化
   * 最小割模型中设置正无穷容量边防割断
10. 切糕模型

数学

数论

1. 欧拉定理，费马小定理，欧拉定理的推论
2. $gcd,exgcd$
3. $CRT,exCRT$
4. $BSGS,exBSGS$
5. 逆元
6. 原根（用于$NTT$）
7. 反演

组合数学

1. $Lucas,exLucas$
2. 群论计数

线性代数

1. 矩阵加速
2. 高斯消元
3. $FFT,NTT$

概率期望

1. 期望的线性性
2. 贝叶斯公式以及推论

计算几何

1. 表示方法
2. 凸包
3. 半平面交
4. 旋转卡壳

字符串

1. $SA$
2. $KMP$
3. $hash$
4. $Tire$
5. $AC$自动机
6. 串的最小表示法
7. $Manacher$
8. 后缀自动机
9. 回文自动机

搜索

1. $DFS$
2. $BFS$
3. $A^{\ast }$
4. $ID{A}^{\ast }$
5. 折半搜索
6. 启发式搜索

分治

1. 整体二分
2. $CDQ$分治
3. 点分治
4. 边分治
5. 树链剖分（链分治）