LIS 最长上升子序列问题

最长上升子序列 LIS

##问题介绍：

  很简单的问题，给一个可以比较的串，找到这个串中存在的一个最长的、升序的子序列。一般问题会简化为找到这个最长序列的长度。

解决办法：

1. 动态规划

   对于这个问题，最简单的办法是动态规划算法。设dp[i] 为若以第i个元素为序列的结尾，串的最长子序列，并且这个序列包含第i个元素。子状态就是dp[j],j是i前面的元素，并且比i的序小，所以状态可以由dp[j]转移过来，在所有的J中找到最大的就可以了。转移方程为 d p [ i ] = m a x { d p [ j ] , j < i } + 1 dp[i]=max\{ dp[j] ,j<i\}+1 dp[i]=max{dp[j],j<i}+1 ，这是很明显的关系。每个i需要遍历前面的全部元素，所以算法复杂度为$O(n^2)$ 。很不实用。找到子序列的办法是从最大的dp[i]反向查，最大的dp[i]代表第i个元素一定是最长子序列的最后一个元素。所以反向找到dp[j] ，dp[j]=dp[i]-1并且第i个元素大于第j个元素。那么第j个元素也是最长子序列的一部分。

2. 贪心算法

   查找最长子序列的时候，我们遍历整个串，在第i个元素的时候我们要找到的是：当前最长子序列最大的一个元素。每次找到的元素如果比最长子序列小的话，我们当然认为它可能在最终的最长子序列中，但是不是在当前最长子序列中。所以不能忽视它，把它放在当前最长子序列最大的一个元素的前面。如果下次找到更大的元素，那么就放在最大的元素前面。

这样子每次维护的序列并不是最长子序列，但是他的长度是最长子序列的长度。中间的元素是为了下次找到一个元素，方便分辨它在最长子序列中有没有存在的可能。

##测试题：

牛客网测试题

HDU 1950 Bridging signals

参考博客：

N种方法妙讲LIS算法 很优秀的推理过程。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;


int M_LIS(int arr[],int n,vector<int> &arr2)
{
    const int maxn = 1e4+10;
    int dp[maxn];
    for(int i=0;i<n;i++) dp[i]=1;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        for(int j=0;j<i;j++) {
            if(arr[i]>arr[j])
                 dp[i]=dp[j]+1;
        }
    }
    int maxdp=-1,q;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        if(maxdp<dp[i]){
            maxdp=dp[i];
            q=i;
        }
    }
    int p=q;
    arr2.push_back(arr[q]);
    while( q>=0&&p>=0) {
        if(dp[p]==dp[q]-1 && arr[p]<arr[q]) {
            arr2.push_back(arr[p]);
            q=p;
        }
        p--;
    }
    return maxdp;
}

/*
    binary_search( first, last, value ( , cmp ) )
    在已排序的[first,last) 前闭后开 区间中寻找元素value，若存在就返回true，若不存在则返回false 。

    lower_bound( first, last, value ( , cmp ) )
    返回>=value的第一个位置的地址

    upper_bound( first, last, value ( , cmp ) )
    返回> value的第一个位置的地址
*/

/*
	带右斜杠的行代表维护最长子序列的代码，如果不需要查询最长子序列则可以删除。
*/
int K_LIS(int arr[],int n)
{
    const int maxn = 1e4+10;
    int dp[maxn],q=1;
    dp[0]=arr[0];
    for(int i=0;i<n;i++) {
        int p= lower_bound(dp,dp+q,arr[i])-dp;
        if(p<q) dp[p]=arr[i];
        else    dp[q++]=arr[i];
    }
    return q;
}
int a[1000+10];
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1) {

        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        cout<<K_LIS(a,n)<<endl;

    }
    return 0;
}