欧几里得算法

欧几里得算法&扩展欧几里得算法（引用证明）

算法：令整数$r_0 = a , r_1 = b$ 满足$a \ge b>0$ ,如果做连续的带余除法得到$r_j=r_{j+1}q_{j+1}+r_{j+2}$ ，且$0<r_{j+2}<r_{j+1} ,(j=0,1,2,...,n-2),r_{n+1}=0$ ，那么，$(a,b)=r_{n}$ ，它是最后一个非零余数。

证明：

定理$1$ ：令$a,b,c$ 为整数， $(a,b)=(a+cb,b)$ 。

定理$2$ ：如果$e$ 和 $d$ 是整数，并且$e=dq+r$ ，那么$(e,d)=(d,r)$ 。

证明：在定理$1$中，令$a=r,b=b=d,c=q$ ，那么就直接得到定理$2$。

欧几里得证明：

令整数$r_0 = a , r_1 = b$ 满足$a \ge b>0$,连续带余除法为：

​ $r_0=r_1q_1+r_2$ $0\le{r_2}<r_1$，

​ $r_1=r_2q_2+r_3$ $0\le{r_3}<r_2$，

​ …

​ $r_{n-2}=r_{n-1}q_{n-1}+r_{n}$ $0\le{r_{n-1}}<r_{n-2}$，

​ $r_{n-1}=r_{n}q_n$ $0\le{r_n}<r_{n-1}$，

可以知道一定有一个余数为零，所有$(a,b)=(r_0,r_1)=(r_1,r_2)=...=(r_{n-1},r_{n})=(r_{n},0)=r_n$ ，

证毕。

//假定a>=b
int gcd(int a,int b)
{
  return b = 0 ? a:gcd(b,a%b);

}

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扩展欧几里得算法：

对于实例：求$a=252$和$b=198$的$gcd$。我们有：

​ $252 = 198\times1 + 54$

​ $198 = 54\times3 - 36$

​ $54 = 36\times1 - 18$

​ $36 = 18\times2$

​ 对于上面的步骤我们可以得到$252$和$198$的$gcd$为 $18$ 。我们也可以得到$18$用$a,b$ 的线性组合表达。$18=ax+by$。

对于第四步， $18=54-36\times1$ .

它前面一步是 $36=198-54\times3$ .

合并得 $18=54-(198-54\times3)\times1=4\times54-198\times1$ .

在有 $54=252-198\times1$ .

所以最后得到 $18=4\times(252-1\times198)-1\times198=4\times252+5\times198$ .

解得： $x=4,y=5$ .

这是用欧几里得算法保存过程量得到的结果。很不方便。这里介绍扩展欧几里得算法。

引用自：扩展欧几里德算法(附证明)

证明:

(证明过程参考自百度百科)

原式: ax+by=gcd(a,b)(假设a≥b)

• 当b=0时有gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0

• 当b不为0时,根据欧几里得定理gcd(a,b)=gcd(b,amodb)可得

  ​ ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=bx′+(amodb)y′,

  即

  ​ ax+by=bx′+(amodb)y′=bx′+(a−b∗⌊a/b⌋)y′

  移项得

  ​ ax+by=bx′+(amodb)y′=ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)

  根据恒等定理,有

            {x=y′y=x′−⌊a/b⌋y′
  

  ​

  这有什么用呢?

  ​

  x′和y′还是不知道呀.

  ​ 重新来看看我们得到的两个等式.x和y是gcd(a,b)=ax+by的解,而x’和y’是在对gcd(a,b)按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式gcd(b,amodb)=bx′+(amodb)y′的解.也就是说,gcd(a,b)对应的贝祖等式的解x,y可以由gcd(b,amodb)对应等式的解x’,y’计算得出.

  ​ 由于欧几里德算法最后一步为gcd(d,0)=d,此时对应的等式的解为x=1,y=0,因此只要如上述代码,从gcd(d,0)往前处理,在进行欧几里德算法的递归的时候根据相邻两次调用间x,y和x’,y’的关系计算即可求出ax+by=gcd(a,b)的解.

//扩展欧几里得算法，假定a>=b
int e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int ans = e_gcd(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t-a/b*y;
    return ans;
}