NKOJ-4239 追捕游戏_题目描述何老板最近在玩一款打怪兽的游戏,游戏虽然简单,他仍乐此不疲。游戏中,-优快云博客

本文介绍了一款追捕游戏的算法实现，通过LCA求解罪犯与警察相遇的最短路径，确保警察能成功拦截罪犯。文章详细阐述了算法原理及代码实现。

P4239 追捕游戏
题目描述

何老板最近在玩一款追铺游戏，游戏虽然简单，何老板仍旧乐此不疲。

游戏地图中有 n 座城市由 n-1 条双向道路连接。任意两座城市都可相互到达。一名罪犯从 A 城市出发沿最短路线逃往 B 城市。在罪犯出发的同时，何老板控制一名警察从 C 城市出发去追捕那名罪犯。每条道路都有一定的长度(单位米)。罪犯和警察行走的速度相同，都是 1 秒钟行走 1 米。

若罪犯到达 B 城市时还没有被抓住，何老板就输掉了这局游戏。何老板总共玩了 m 局游戏，每局游戏开始前，何老板想知道他是否能赢下这局游戏，如果能，警察最少行走多少米才能抓到罪犯？

输入格式

    第一行，两个整数 n 和 m

    接下来 n-1 行，每行三个整数 X,Y,Z，表示城市 X 和 Y 之间有一条长度为 Z 的道路相连。接下来 m 行，每行三个整数 A,B,C。

输出格式

m 行，每行对应一局游戏的结果。若能抓捕到罪犯。输出一个整数，表示警察最少需要行走的距离。若无法抓到罪犯，输出-1。

输出输出样例
样例输入

样例输出

10
9

这种与其跑这么远不如打个电话…

题解

首先讲一下最基本的知识

任意两个点a、c,要去同一个点b
他们的途中一定有一个交点在交点之后他们的路径就一样了
且这个点最坏的情况就是他们要去的点b

于是我们只要知道这个交点就能知道题目的答案了

对于交点t
如果警察所在的点a到t的距离 < 小偷所在的点b到t的距离那么警察能够捉到
反之则不能
（因为他们在t点之后的路程一样）

那么我们用LCA把abc两两求公共点一定有两个一样的那么不一样的那个点即为交点
（不解释自己画图）（其实是因为我解释不了）

那么如何求点到交点的距离呢？

其实在LCA的时候就可以求出来了

LCA中倍增祖先的代码为

fath[a][i]=fath[fath[a]][i-1]

那么我们修改之后变成

dis[a][i]=dis[a][i-1]+dis[fath[a][i-1]][i-1]
fath[a][i]=fath[fath[a]][i-1]

这样的循环的递归得到距离的原因是

我们能够轻易知道 a->a的父亲 的点的距离
然后 a->a的祖父的距离 = a->a的父亲的距离 + a的父亲->a的父亲的父亲的距离

a->fath[a][i] = a->fath[a][i-1] + fath[a][i-1]->fath[fath[a][i-1]][i-1]

因为dis[a][i-1]在上一步求出来了
而dis[fath[a][i-1]][i-1]早就求出来了
所以这个式子是能够成立的

然后在计算距离的时候请参考LCA求公共祖先的方法
通过上面的推导的式子自行找求和的办法

所以简化思路

①求出a->b和c->b两条路径的最近交点
②比较两个点a、c到最近路径交点的距离
③输出答案

完成！！

注意

千万千万别在写 fath 和 dis 的时候搞昏了我就是这么丢掉100分的

附上对拍代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n,m,res;
int dep[100123],fa[100123][19],up[100123][19];
int all=0,star[100123],ent[200123],nxt[200123],len[200123];

void add(int s,int e,int l)
{
    nxt[++all]=star[s];
    star[s]=all;
    ent[all]=e;
    len[all]=l;
}

inline int input()
{
    char c=getchar();int o;
    while(c>57||c<48)c=getchar();
    for(o=0;c>47&&c<58;c=getchar())o=(o<<1)+(o<<3)+c-48;
    return o;
}

void dfs(int s,int dp,int fath)
{
    dep[s]=dp;fa[s][0]=fath;
    for(int i=1;i<=18;i++)
    {
        fa[s][i]=fa[fa[s][i-1]][i-1];
        //up即为dis
        up[s][i]=up[s][i-1]+up[fa[s][i-1]][i-1];
    }
    for(int bian=star[s],e=ent[bian];bian;bian=nxt[bian],e=ent[bian])
        if(e!=fath)
        {
            //e->父亲 的距离 即为边长
            up[e][0]=len[bian];
            dfs(e,dp+1,s);
        }
}

int LCA(int a,int b)
{
    res=0;int delta;
    if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
    delta=dep[a]-dep[b];
    for(int i=0;i<=18;i++)
        if(delta&(1<<i))res+=up[a][i],a=fa[a][i];
    if(a==b)return a;
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(fa[a][i]!=fa[b][i])
        {
            res+=up[a][i]+up[b][i];
            a=fa[a][i];
            b=fa[b][i];
        }
    res+=up[a][0]+up[b][0];
    return fa[a][0];
}

find(int a,int b,int c)
{
    int fab,fac,fbc,rfa,lena,lenc;
    //求交点
    fab=LCA(a,b);
    fac=LCA(a,c);
    fbc=LCA(b,c);
    if(fab==fac)rfa=fbc;
    if(fab==fbc)rfa=fac;
    if(fac==fbc)rfa=fab;
    //求距离
    LCA(a,rfa);lena=res;
    LCA(c,rfa);lenc=res;
    //比较后输出
    if(lena>=lenc)printf("%d\n",lenc);
    else puts("-1");
}

int main()
{
    freopen("catch.in","r",stdin);
    freopen("catch.out","w",stdout);
    int s,e,l,a,b,c;
    n=input();m=input();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        s=input();e=input();l=input();
        add(s,e,l);add(e,s,l);
    }
    dfs(1,1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        a=input();b=input();c=input();
        find(a,b,c);
    }
}