分治算法

本文介绍了如何使用分治算法解决金块问题,即在最少的比较次数下找出一袋2的幂块数的金块中最重和最轻的金块。传统方法需要2n-3次比较,而采用分治法可以降低到O(n)。文章详细分析了分治法的步骤,包括当金块数量为1或2时的特殊情况,以及n>2时的处理方式,并讨论了递归逻辑和时间复杂度。

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如下有关分治法的问题:

金块问题:
老板有一袋金块(共n块,n是2的幂(n≥2)),最优秀的雇员得到其中最重的一块,最差的雇员得到其中最轻的一块。假设有一台比较重量的仪器,希望用最少的比较次数找出最重和最轻的金块。并对自己的程序进行复杂性分析。


首先分析一下问题:
对于一般思路:通过一个函数Max进行n-1次比较来找到最重的金块,然后再从余下的n-2个金块中用同样的方法Min函数找到最轻的金块,这样,比较的总次数为2n-3。
对于 分治法:(分治法是将问题划分为若干个子问题,然后通过求解子问题的解来获得原问题的解)

  1. 先考虑n≤2的情况
    ①当n=1时,即只有一块金子,此时无需进行比较
    ②当n=2时,此时只需比较一次就可以判断出最重和最轻的金块

  2. 对于n>2的情况
    第一步,将金子平均分成两份A,B
    第二步,分别在A,B中找到最重和最轻的金块
    第三步,再次比较A中最重的金子和B中最重的金子,A中最轻的金子和B中最轻的金块

时间复杂度:

  • 若n=0
    T(n)=0
  • 若n=1
    T(n)=1
  • 若n>2
    T(n)=2T(n/2)+2
    通过Master定理可得为O(n)

代码的总体设计逻辑就是将n个金块分成等量的两份A,B,然后再将A分成等量的两份(若A中金块的数量n1>2),然后再次等量分,通过一次次的划分,找到符合n=1或n=2的情况,然后直接进行比较,总体来说就是不断的递归

代码:

#include<stdio.h> 
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