数据结构和算法（17）：堆排序

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基本概念

代码示例

堆排序的分析

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基本概念

我们前面讲到简单选择排序，它在待排序的n个记录中选择一个最小的记录需要比较n-1次。本来这也可以理解，查找第一个数据需要比较这么多次是正常的，否则如何知道它是最小的记录。可惜的是，这样的操作并没有把每一趟的比较结果保存下来，在后一趟的比较中，有许多比较在前一趟已经做过了，但由于前一趟排序时未保存这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作，因而记录的比较次数较多。

如果可以做到每次在选择到最小记录的同时，并根据比较结果对其他记录做出相应的调整，那样排序的总体效率就会非常高了。而堆排序(Heap Sort)，就是对简单选择排序进行的一种改进，这种改进的效果是非常明显的。堆排序算法是Floyd和Williams在1964年共同发明的，同时，他们发明了“堆”这样的数据结构。

 堆排序就是利用堆(假设利用大顶堆)进行排序的方法。它的基本思想是，将待排序的序列构造成一个大顶堆。此时，整个序列的最大值就是堆顶的根结点。将它移走(其实就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值》，然后将剩余的n-1个序列重新构造成一个堆，这样就会得到n个元素中的次大值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

堆是具有下列性质的完全二叉树: 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆(例如左上图所示);或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆(例如右上图所示)

代码示例

using System;

class HeapSort
{
    public static void Sort(int[] arr)
    {
        int n = arr.Length;

        // 构建最大堆
        BuildMaxHeap(arr, n);

        // 从最后一个节点开始，逐步减少堆的大小，并进行堆化操作
        for (int i = n - 1; i > 0; i--)
        {
            // 将堆顶元素与最后一个元素交换
            Swap(arr, 0, i);
            
            // 对减少后的堆进行堆化操作（下沉操作）
            Heapify(arr, i, 0);
        }
    }

    // 构建最大堆
    private static void BuildMaxHeap(int[] arr, int n)
    {
        // 从最后一个非叶子节点开始，依次进行堆化操作
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
            Heapify(arr, n, i);
    }

    // 堆化操作
    private static void Heapify(int[] arr, int n, int i)
    {
        int largest = i; // 当前节点、左子节点和右子节点中值最大的节点
        int left = 2 * i + 1; // 左子节点
        int right = 2 * i + 2; // 右子节点

        // 在左右子节点中找到较大的值
        if (left < n && arr[left] > arr[largest])
            largest = left;
        if (right < n && arr[right] > arr[largest])
            largest = right;

        // 如果最大值不是当前节点，则交换节点，并继续向下进行堆化操作
        if (largest != i)
        {
            Swap(arr, i, largest);
            Heapify(arr, n, largest);
        }
    }

    // 交换数组中的两个元素
    private static void Swap(int[] arr, int i, int j)
    {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    // 测试堆排序
    public static void Main(string[] args)
    {
        int[] arr = { 5, 3, 8, 6, 2, 7, 1, 4 };
        Console.WriteLine("Array before sorting:");
        PrintArray(arr);

        Sort(arr);
        Console.WriteLine("Array after sorting:");
        PrintArray(arr);
    }

    // 打印数组
    private static void PrintArray(int[] arr)
    {
        foreach (int num in arr)
        {
            Console.Write(num + " ");
        }
        Console.WriteLine();
    }
}

堆排序分为两个主要步骤：建堆和排序。

1. 建堆：

   • 首先，将待排序的数组构建成一个最大堆。最大堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
   • 建堆的过程通常从最后一个非叶子节点开始，依次对每个非叶子节点进行堆化操作。堆化操作是通过比较节点与其子节点的值来交换它们的位置，以保证满足最大堆的性质。
   • 建堆操作的时间复杂度是O(n)，其中n是数组的长度。

2. 排序：

   • 排序过程总是将最大值（堆顶元素）与堆的最后一个元素交换，并将堆的大小减少1。然后，对新的堆进行堆化操作，使其满足最大堆的特性。
   • 重复上述步骤，直到堆的大小为1，即所有元素都已排序完成。
   • 排序过程的时间复杂度是O(nlogn)。

堆排序的分析

• 时间复杂度：

  • 建堆的时间复杂度是O(n)。
  • 排序过程的时间复杂度是O(nlogn)。
  • 因此，堆排序的总时间复杂度是O(n + nlogn) = O(nlogn)。

• 空间复杂度：

  • 堆排序是原地排序算法，不需要额外的辅助空间。
  • 因此，堆排序的空间复杂度是O(1)。

• 稳定性：

  • 堆排序是不稳定的排序算法，因为在排序过程中，进行堆化操作会改变相同元素之间的相对顺序。