数据结构和算法（16）：归并排序

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基本概述

代码示例

归并排序的分析

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基本概述

归并排序是一种高效、稳定的排序算法，采用分治法（Divide and Conquer）策略将问题分解为较小的子问题，逐步解决这些子问题，最终将结果合并为整体解决方案。在大规模数据排序中表现出色，时间复杂度为O(n log n)。本文将介绍归并排序的工作原理、算法示例、复杂度分析以及与其他排序算法的比较。

1. 归并排序的工作原理 归并排序的过程分为三个主要阶段：分割、解决和合并。

   1. 分割阶段：将待排序的数组分为两个子数组，直到无法再分割为止。

   2. 解决阶段：递归地对两个子数组进行排序，直到每个子数组只有一个元素。

   3. 合并阶段：将排好序的子数组合并为一个有序数组。

代码示例

using System;

class MergeSort
{
    // 归并排序函数
    public static void Sort(int[] arr)
    {
        int[] temp = new int[arr.Length]; // 创建一个临时数组
        MergeSortHelper(arr, temp, 0, arr.Length - 1);
    }

    // 归并排序辅助函数，用于递归拆分和合并数组
    private static void MergeSortHelper(int[] arr, int[] temp, int left, int right)
    {
        if (left >= right)
            return;

        int mid = (left + right) / 2; // 拆分数组

        MergeSortHelper(arr, temp, left, mid); // 对左半部分进行排序
        MergeSortHelper(arr, temp, mid + 1, right); // 对右半部分进行排序

        Merge(arr, temp, left, mid, right); // 合并两个有序数组
    }

    // 合并两个有序数组
    private static void Merge(int[] arr, int[] temp, int left, int mid, int right)
    {
        int i = left; // 左半部分数组的起始位置
        int j = mid + 1; // 右半部分数组的起始位置
        int k = left; // 临时数组的起始位置

        // 比较两个数组的元素，并将较小的元素放入临时数组
        while (i <= mid && j <= right)
        {
            if (arr[i] <= arr[j])
            {
                temp[k] = arr[i];
                i++;
            }
            else
            {
                temp[k] = arr[j];
                j++;
            }
            k++;
        }

        // 处理左半部分数组中剩余的元素
        while (i <= mid)
        {
            temp[k] = arr[i];
            i++;
            k++;
        }

        // 处理右半部分数组中剩余的元素
        while (j <= right)
        {
            temp[k] = arr[j];
            j++;
            k++;
        }

        // 将临时数组的元素复制回原数组
        for (int m = left; m <= right; m++)
        {
            arr[m] = temp[m];
        }
    }

    // 测试归并排序
    public static void Main(string[] args)
    {
        int[] arr = { 5, 3, 8, 6, 2, 7, 1, 4 };
        Console.WriteLine("Array before sorting:");
        PrintArray(arr);

        Sort(arr);
        Console.WriteLine("Array after sorting:");
        PrintArray(arr);
    }

    // 打印数组
    private static void PrintArray(int[] arr)
    {
        foreach (int num in arr)
        {
            Console.Write(num + " ");
        }
        Console.WriteLine();
    }
}

归并排序的分析

1. 时间复杂度：

   • 最好情况、平均情况和最坏情况下，归并排序的时间复杂度都为O(nlogn)。这是因为在每一次合并操作中，需要将两个子数组合并成一个更大的有序数组，合并过程需要O(n)的时间，而递归调用的层数为O(logn)，所以总的时间复杂度为O(nlogn)。
   • 因为归并排序是一种稳定的排序算法，所以它的时间复杂度在任何情况下都不会变化。

2. 空间复杂度：

   • 归并排序需要使用额外的空间来存储临时的排序结果。在每一次合并操作中，需要创建一个临时数组来存储合并结果，所以它的空间复杂度为O(n)。
   • 除了临时数组外，归并排序的空间复杂度不随待排序数组的规模而变化。

3. 稳定性：

   • 归并排序是一种稳定的排序算法，它在合并过程中，对于相同元素的处理是稳定的，不会改变它们之间的相对顺序。