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最新推荐文章于 2019-03-11 11:16:38 发布

阿狸是狐狸啦

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分类专栏：思维 dp 小白书数学

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探讨了如何通过动态规划解决特定序列构成封闭多边形的问题。分析了序列中R和O数量的关系，并给出了实现这一计数问题的具体算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：O代表90度，R代表270度，给你一个n问你存在多少长度为n的串，串可以组成一个封闭的多边形。

如n=4时序列只能是OOOO，即一个四边形。

当n=6时满足题意的序列有RRRRRO，RRRROR，RRRORR，RRORRR，RORRRR，ORRRRR.

思路：再看了好多题解加一晚上时间的理解后写了一些自己的理解

通过观察我们可的R的数量总比O多4个。那么最多有4对RR，且没有两个OO的情况。

所以我们可以设dp方程：

dp[i][j][k]表示i个R其中有j对RR开头是K
dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]+dp[i-1][j-1][k];

方程为什么这样子，我的想法是当我们有i-1个R，j-1对R时，我们加一个R，同时为了满足R-O=4，O也要加一个，

那么举一个例子序列RRORRORROR，当我们加一个R和一个O时，序列可以变为RRORRORROROR或者RRORRORRORRO

可以发现我们在i个R，j对R的情况下加一个R和一个O可以变为i+1个R，j+1对R，或者i+1个R，j对R。

即当增加一个R是，R的对数可能加1，也可能不变。

那么我们可以推出i个R，j对R的情况，是由i-1个R，j对R变出来，或者是i-1个R，j-1对R变出来。

那么ans[i]=dp[r][4][1]+dp[r][4][0]+dp[r][3][0];

为什么有dp[r][3][0]，dp[r][3][0]相当于RRORRORROROR类型的串，但它和RRRORRORRORO的结果是一样，但也算不同类型的串。

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
long long dp[1005][5][2],ans[1005];  
  
int main()
{  
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    memset(ans,0,sizeof(ans));  
    for(int k=0;k<2;k++)
    {
    	dp[1][0][k]=1;
    	for(int i=2;i<1005;i++)
    	{
    		for(int j=0;j<5;j++)
    		{
    			dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];
    			if(j>0) dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k];
			}
		}
	}
    for(int i=4;i<1005;i++)
    {
    	if(i%2==1)continue;
    	int r=(i+4)/2;
    	ans[i]=dp[r][4][1]+dp[r][4][0]+dp[r][3][0];
	}
    int n,cas=1;
    while (scanf("%d",&n)&&n)  
        printf("Case %d: %lld\n",cas++,ans[n]);  
    return 0;  
}