升余弦滤波器的作用和产生

最新推荐文章于 2025-04-05 08:55:45 发布

Brandon懂你

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点赞数 8

一直很想深入学习滤波器方面的知识，图书馆也去借了书然后准备看，结果就是：然后就没有然后了。DSP一直是自己的短板，因为这里面感觉小的技巧好多，而且都需要自己去琢磨，像滤波器这种东西，我脑海里也只有少的可怜点印象。比如什么FIR 和 IIR 之类的。理论尚且薄弱更不谈实践了，这也是制约自己进一步提高的重要方面。但是，现在的自己仿佛早已经没了以前那么耐心去啃书了，最多上网googling，再看点博文。所以，前今天看到导师改的msn签名：静心！觉得很有启发，确实啊现在这个急功近利的社会，要做到的确有难度。说到这，又不得不再次表达对杨鸿文老师的敬佩，我觉得他应该是真正做到了那点，现在是很难再找到这样热爱自己工作的老师了，除了敬佩只剩瞻仰！

貌似每次写正文前，我都要唠叨几句。哎，唠叨唠叨也就过去了，人一辈子也不就这样嘛。好了，言归正传，今天谈谈最常见的滤波器—-升余弦滤波器。先说说我们为什么这么喜欢这个滤波器，最主要的原因就是它的拖尾衰减的比Nyquist滤波器(sinc())快，这样的好处就是当我们出现了定时误差的时候，码间干扰尽可能降低了。另一方面，既然衰减快了，说明它的频率成分肯定是增加了，这就导致带宽的增加。所以，它是以带宽换取低ISI的典型应用。接下来给出升余弦滤波器时域和频域表达式：

接下来我们就实践下，我们从时域来产生滤波器，再验证频域图像是否正确。


 
 
   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     % Author  : ZXY
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     % Email     : zxy_ee@163.com
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     % Version    : 1.0
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     % Date      : 2012-2-16
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     看代码，直接点左上角view plain！
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
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     fs = 20;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     %we define T = 1,so we ignore it!!
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     % defining the sinc filter
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     sincNum = sin(pi*[-fs:1/fs:fs]); % numerator of the sinc function
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     sincDen = (pi*[-fs:1/fs:fs]); % denominator of the sinc function
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     sincDenZero = find(abs(sincDen) 
     
     < eps);%the eps is 2.2204e-016
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     sincOp = 
     
     sincNum./sincDen;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     sincOp(
     
     sincDenZero) = 
     
     1; % 
     
     sin(
     
     pix/(
     
     pix) =
     
     1 
     
     for 
     
     x =
     
     0 诺比达法则
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     alpha = 
     
     0;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosNum = 
     
     cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosDen = 
     
     (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosDenZero = 
     
     find(abs(cosDen)<
     
     eps);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosOp = 
     
     cosNum./cosDen;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosOp(
     
     cosDenZero) = 
     
     pi/4;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     gt_alpha0 = 
     
     sincOp.*cosOp;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     N = 
     
     length(gt_alpha0);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     GF_alpha0 = 
     
     fft(gt_alpha0,N);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     alpha = 
     
     0.5;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosNum = 
     
     cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosDen = 
     
     (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosDenZero = 
     
     find(abs(cosDen)<
     
     eps);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosOp = 
     
     cosNum./cosDen;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosOp(
     
     cosDenZero) = 
     
     pi/4;%诺比达法则直接计算
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     gt_alpha5 = 
     
     sincOp.*cosOp;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     N = 
     
     length(gt_alpha5);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     GF_alpha5 = 
     
     fft(gt_alpha5,N);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     alpha = 
     
     1;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosNum = 
     
     cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosDen = 
     
     (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosDenZero = 
     
     find(abs(cosDen)<
     
     eps);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosOp = 
     
     cosNum./cosDen;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     cosOp(
     
     cosDenZero) = 
     
     pi/4;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     gt_alpha1 = 
     
     sincOp.*cosOp;
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     N = 
     
     length(gt_alpha5);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     GF_alpha1 = 
     
     fft(gt_alpha1,N);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
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     figure
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     plot([
     
     -fs:1/
     
     fs:fs],[
     
     gt_alpha0],'
     
     r','
     
     LineWidth',
     
     2)
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
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     plot([
     
     -fs:1/
     
     fs:fs],[
     
     gt_alpha5],'
     
     g','
     
     LineWidth',
     
     2)
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     plot([
     
     -fs:1/
     
     fs:fs],[
     
     gt_alpha1],'
     
     b','
     
     LineWidth',
     
     2)
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     legend('
     
     alpha=
     
     0','
     
     alpha=
     
     0.5','
     
     alpha=
     
     1');
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     grid 
     
     on
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     xlabel('时间, 
     
     t')
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     ylabel('幅度, 
     
     g(
     
     t)')
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     title('时域图像')
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     figure
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     %除以
     
     fs的原因是因为采样导致幅度加权了。
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     plot([
     
     -N/
     
     2:N/
     
     2-1]/
     
     N*
     
     fs, 
     
     abs(
     
     fftshift(
     
     GF_alpha0))/
     
     fs,'
     
     r','
     
     LineWidth',
     
     2);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
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     on
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     plot([
     
     -N/
     
     2:N/
     
     2-1]/
     
     N*
     
     fs, 
     
     abs(
     
     fftshift(
     
     GF_alpha5))/
     
     fs,'
     
     g','
     
     LineWidth',
     
     2);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
     
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     plot([
     
     -N/
     
     2:N/
     
     2-1]/
     
     N*
     
     fs, 
     
     abs(
     
     fftshift(
     
     GF_alpha1))/
     
     fs,'
     
     b','
     
     LineWidth',
     
     2);
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     legend('
     
     alpha=
     
     0','
     
     alpha=
     
     0.5','
     
     alpha=
     
     1');
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     axis([
     
     -2 
     
     2 
     
     0 
     
     1.2])
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     grid 
     
     on
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     xlabel('频率, 
     
     f')
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     ylabel('幅值, |
     
     G(
     
     f)|')
    
    
   
   

   
   
    
    
   
   
   
   
    
    
     
     title('频域图像')

对于其中频域计算在前面一篇文章中有说明,利用FFT 及 IFFT实现傅立叶正反变换。

结果如图所示：

好了，我们可以看出与理论分析是一致的，由于我们用的是很粗暴的矩形窗，所以你能明显看见吉布斯现象。同样，当拖尾衰减更快时，它的频域也无情地展开了。这个仿真的难点还是写出它的时域表达式，其他的都还好说。原来仿真很少加窗，现在可以用上自己的升余弦了，不再去用自带的函数，参数不好记啊那些。关键是对原理更清楚了。比如：我们数据发送出去之前，要成形滤波，这样来抵抗ISI，那么我们就用数据与这里的滤波器(准确说是带根号，整体效果还是一个升余弦)做卷积运算。注意的是，这里的数据也要相应的过采样，关于采样，等自己弄明白来说，好多东西自己还没理解那么透彻。完！

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