We Love ABC(AtCoder-ABC-104-D)(数学计数,不用DP!)

最新推荐文章于 2022-09-02 01:24:39 发布

原创最新推荐文章于 2022-09-02 01:24:39 发布 · 711 阅读

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#数学 #组合计数 #ABC104-D #We Love ABC #AtCoder

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本文解析了一种涉及字符'A'、'B'、'C'及'?'的字符串组合计数问题，通过数学分析设计了O(n)的算法解决。文章详细介绍了不同情况下（不含'?'与含'?'）的计数方法，并提供了完整代码实现。

题目链接
题目大意
- 数据范围
分析
- 对于没有’?’
- 加上’?’
代码

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传送门

题目大意

一个字符串T由’A’,’B’,’C’,’?’组成,其中’?’可以变成’A’,’B’,’C’,现在若 $T_i='A'$ $T_j='B'$ $T_i='C'$ 且
1<=i< j< k<=|S|,那么该三元组(i,j,k)满足条件,求所有满足条件的三元组组数？由于答案很大,所以最后答案要对 $10^9+7$ 取模
样例输入1：
A??C
样例输出1：
8
样例输入2：
ABCBC
样例输出2：
3
样例输入3：
????C?????B??????A???????
样例输出3：
979596887

数据范围

$3\leq|S|\leq10^5$

分析

当时考试时也是极为懵逼,最后自己离5分钟结束做出来了
这道题题目最后说是什么DP,然而我直接用了简单的数学分析后设计了O(n)的算法

对于没有’?’

这种情况我也想了很久….
其实我们可以发现,这种情况中‘B’的位置是比‘A’‘C’两个字母重要的,因为你一旦确定了一个’B’的位置,那个位置左边的’A’的数量，和那个位置右边的’C’的数量都可以确定,我们就可以用前缀和统计’A’,后缀和统计’C’,我们记当前位置为i,i位置左边的’A’的数量A[i-1],i位置右边的’C’的数量C[i+1],那么对于每一个’B’,包含当前’B’的总方案数就是：A[i-1]*C[i+1]
那么总的方案数就是：
$\sum_{i=1}^{n}A[i-1]*C[i+1](s[i]=='B')$
相信这个还是很好理解的

加上’?’

这种情况相比上面就是多了几种情况和多了两个统计：
此时你是不仅仅对于每个’B’来进行类似于上面的操作,你还要对于每个问号这样操作,因为‘?’可以变成’B’
你对于每个位置i除了统计A[i],C[i]后还要统计这个位置之前(包含这个位置)的’?’个数m[i],这个位置之后(包含这个位置)的’?’个数n[i]
①’A’<–>’C’
这种情况时’?’对“ABC”并没有影响,而问号的所有可能方案为为 $3^{m[i-1]+n[i+1]}$ ,所以此时答案为: $A[i-1]\times C[i+1]\times3^{m[i-1]+n[i+1]}$
②‘A’<–>’?’
此时你只需要在后面n[i+1]个’?’中找出一个来当作’C’,剩下 $m[i-1]+n[i+1]-1$ 个问号和’C’对“ABC”并没有影响所以此时答案为： $n\times A[i-1]\times3^{m[i-1]+n[i+1]-1}$
③’?’<–>’C’
与②情况大同
此时答案为: $m\times C[i-1]\times3^{m[i-1]+n[i+1]-1}$
④’?’<–>?’
你要从前面m[i-1]个’?’中选一个出来当作’A’,从后面n[i+1]个’?’中选出一个出来当作’C’,剩下的问号就对“ABC”有没有影响了
此时答案为: $m\times n\times3^{m[i-1]+n[i+1]-2}$
那么对于一个合法的位置(s[i]为’B’或’?’)的答案为:
$A[i-1]\times C[i+1]\times3^{m[i-1]+n[i+1]}+n\times A[i-1]\times3^{m[i-1]+n[i+1]-1}+m\times C[i-1]\times3^{m[i-1]+n[i+1]-1}+m\times n\times3^{m[i-1]+n[i+1]-2}$
那么最终的答案就是这写答案之和.
温馨提示1:开LL
温馨提示2: $3^k$ 预处理出来,不要每次算快速幂！！很慢…
温馨提示3:注意每次乘时的取模,每次相加时的取模！！！

代码

#include<set>
#include<map>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL read(){
    LL f=1,x=0;char s=getchar();   
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}  
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 100000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD int(1e9+7)
LL Pow[MAXN+5]={1};
LL A[MAXN+5],C[MAXN+5],q1[MAXN+5],q2[MAXN+5];
char str[MAXN+5];
int main(){
    scanf("%s",str+1);
    int n=strlen(str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)//预处理出3^k
        Pow[i]=(Pow[i-1]*3)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;i++){//处理出对于i位置之前的'A'和'?'
        A[i]=A[i-1],q1[i]=q1[i-1];
        if(str[i]=='A')//均包含第i个位置
            A[i]++;
        if(str[i]=='?')
            q1[i]++;
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){//处理出对于i位置之后的'C'和'?'
        C[i]=C[i+1],q2[i]=q2[i+1];
        if(str[i]=='C')//均包含第i个位置
            C[i]++;
        if(str[i]=='?')
            q2[i]++;
    }
    LL ans=0,t1,t2,t3,t4;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(str[i]=='B'||str[i]=='?'){//数学计数
            t1=((A[i-1]*C[i+1])%MOD*Pow[q1[i-1]+q2[i+1]])%MOD;
            t2=((A[i-1]*q2[i+1])%MOD*Pow[q1[i-1]+q2[i+1]-1])%MOD;
            t3=((C[i+1]*q1[i-1])%MOD*Pow[q1[i-1]+q2[i+1]-1])%MOD;
            t4=((q1[i-1]*q2[i+1])%MOD*Pow[q1[i-1]+q2[i+1]-2])%MOD;
            ans=(ans+((t1+t2)%MOD+(t3+t4)%MOD)%MOD)%MOD;//注意答案不要溢出
        }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}