二叉树

定义

二叉树是树的特殊一种，具有如下特点：
1、每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。
2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。

二叉树分类及其特点

1.斜树:所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。

2.满二叉树:
  所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。

3.完全二叉树：
  对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。

  其中关键点是按层序编号，然后对应查找

性质

  1.一般二叉树：

• 在非空二叉树的i层上，至多有2(i-1)个节点(i>=1)。通过归纳法论证。
• 在深度为K的二叉树上最多有2k-1个结点（k>=1)。通过归纳法论证。
• 对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1

  2.一般二叉树：

• 具有n的结点的完全二叉树的深度为log2n+1.
• 如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有

• 如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整。
• 如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i。
• 如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1。

遍历

二叉树遍历：从树的根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问仅且一次。

typedef float ElemType;
typedef struct BiTNode//定义结点类型结构体
{
	ElemType data;//数据域
	struct BiTNode* lchild;//左子树
	struct BiTNode * rchild;//右子树

}BiTree;

1.前序遍历 :

基本思想：先访问根结点，再先序遍历左子树，最后再先序遍历右子树即根—左—右

递归代码如下:

//前序递归遍历
void PreOrderTraverse(BiTree t)
{
  //注意跳出条件
    if(t != NULL)
    {
       //注意访问语句顺序
        printf("%c ", t->data);
        PreOrderTraverse(t->lchild);
        PreOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

前序非递归代码如下:

对于任一结点p：
 a. 访问结点p，并将结点p入栈；
 b. 判断结点p的左孩子是否为空，若为空，则取栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p，循环置a；若不为空，则将p的左孩子置为当前结点p；
 c. 直到p为空，并且栈为空，则遍历结束。

//前序非递归遍历
int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stdout, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
//现将左子树压入栈，当到叶子结点后，出栈，获取右子树，然后在压入右子树的左子树。
//顺序不能变
    while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1)) 
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->lchild;
        }
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
     
    return OK;
}

2.中序遍历：

先中序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树即左—根—右。

中序遍历迭代代码：

//中序递归遍历
void InOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        InOrderTraverse(t->lchild);
        printf("%c ", t->data);
        InOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

中序非递归遍历

//中序非递归遍历二叉树
int NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
     
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    while(tmp != NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            tmp = tmp->lchild;
        }
 
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
    return OK;
}

3.后序遍历

基本思想：先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后再访问根结点即左—右—根。

后序递归遍历代码:

{
    if(t != NULL)
    {
        PostOrderTraverse(t->lchild);
        PostOrderTraverse(t->rchild);
        printf("%c ", t->data);
    }
}

后序遍历的非递归实现

要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。

//后序非递归遍历二叉树
int NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
   SqStack s;
   InitStack(&s);

   BiTree cur;     //当前结点  
   BiTree pre = NULL;      //前一次访问的结点
   BiTree tmp;

   if(t == NULL)
   {
       fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
       return ERROR;
   }

   Push(&s, t);
   while(IsEmpty(&s) != 1)
   {
       GetTop(&s, &cur);//
       if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
       {
           printf("%c ", cur->data);    //如果当前结点没有孩子结点或者孩子结点都已被访问过
           Pop(&s, &tmp);
           pre = cur;
       }
       else
       {
           if(cur->rchild != NULL)
           {
               Push(&s, cur->rchild);
           }
           if(cur->lchild != NULL)
           {
               Push(&s, cur->lchild);
           }
       }
   }
   return OK;
}

二叉树的建立

二叉树的建立就是二叉树的遍历，只不过将输入内容改为建立结点而已，比如，利用前序遍历建立二叉树

BiTree CreateTree(BiTree t)
{
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
 
    if(ch == '#')
    {
        t = NULL;
    }
    else
    {
        t = (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
        if(t == NULL)
        {
            fprintf(stderr, "malloc() error in CreateTree.\n");
            return;
        }
 
        t->data = ch;                        //生成根结点
        t->lchild = CreateTree(t->lchild);    //构造左子树
        t->rchild = CreateTree(t->rchild);    //构造右子树
    }
    return t;
}

参考:浅谈二叉树