算法总结 给定范围内最大公约数为某一定值的数对个数的算法

先描述一下问题
已知m,n
求$$\sum _{(i,j)=k}^{1<=i<=m,1<=j<=n}1$$
用文字描述即为已知整数n,m，
1<=i<=m,1<=j<=n,求有多少对(i,j)满足i,j的最大公约数为k

算法1

首先最简单的算法即为暴力枚举
枚举所有符合条件的数对，判断是否满足要求即可
时间复杂度$o(mn)$

算法1的优化

显然原式等价于$$\sum _{(i,j)=1}^{1<=i<=m/k,1<=j<=n/k}1$$
这样时间复杂度为$o(mn/k^2)$

算法2

显然这个时间复杂度是难以接受的
那么我们可以怎么做呢？
先考虑另一个问题，
有多少对（i,j)有公因子k
这个显然是$$[\frac{m}{k}][\frac{n}{k}]$$
那么这跟正确答案相差多少？
显然这个数包含了最大公约数为2k,3k,4k…的情况，
那么我们减去这些数就好了
为保证无后效性，我们不得不采用倒推，即先推出n/k*k，再依次往下，直到枚举到k
由考虑最差情况，调和级数可知 时间复杂度为O(nlogn)
例题：
【NOI2010】能量采集
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447
在分析清楚思路之后
代码异常简洁

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100007
ll n, m, ans, f[N];
int main()
{
   
   
    cin >> n >> m;
    if (n > m)
        swap(m, n);
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
   
   
        f[i] = (m / i) * (n / i);
        for (int j = i * 2;</