动态规划总结：题目类型-设计流程-框架

1.直接考虑动态规划的题目类型：

求最值：因为最优子结构性质作为动态规划问题的必要条件，一定是让你求最值的，以后碰到那种恶心人的最值题，思路往动态规划想就对了，这就是套路。

子序列：因为子序列类型的问题，穷举出所有可能的结果都不容易，而动态规划算法做的就是穷举 + 剪枝，它俩天生一对儿。所以可以说只要涉及子序列问题，十有八九都需要动态规划来解决，往这方面考虑就对了。

一旦涉及到子序列和最值，那几乎可以肯定，考察的是动态规划技巧，时间复杂度一般都是 O(n^2)。

2.总结一下动态规划的设计流程：

首先明确 dp 数组所存数据的含义。这步很重要，如果不得当或者不够清晰，会阻碍之后的步骤。

然后根据 dp 数组的定义，运用数学归纳法的思想，假设 dp[0…i−1] 都已知，想办法求出 dp[i]，一旦这一步完成，整个题目基本就解决了。

但如果无法完成这一步，很可能就是 dp 数组的定义不够恰当，需要重新定义 dp 数组的含义；或者可能是 dp 数组存储的信息还不够，不足以推出下一步的答案，需要把 dp 数组扩大成二维数组甚至三维数组。

3.动态规划的模板框架

带备忘录的递归-自顶向下

自顶向下主要是定义dp函数
参数：状态
返回值：要求的数值
备忘录：memo[state]，=初始化值，还未计算过；！=初始化值，状态state的结果值

先初始化整个备忘录，用一个正常情况下结果取不到的值进行初始化整个备忘录，说明还没被计算过。例如结果都是大于零的数，则初始化为0；如果结果能取到零，就初始化为-1: memo(memo,-1,sizeof(memo))
注意 如果用特殊值表示“还没计算过“，必须和其他特殊值区（比如无解）区分开。

//这里是把结果数组和备忘录合在一起，如果答案和标记不能用正负/0区分，就单独用dp[]记录答案，用memo记录是否计算过

int dp(int state)
{
    1.在备忘录中检查，若有直接return备忘录：if(memo[state]>=0) return memo[state];
    
    2.base case:给定最初始的状态返回值
    
    3.初始化memo[state]:如果是求最大值，就初始化为0,如果求最小值，就初始化为INF或者所有状态可能取到的最大值//为了求最值
    
    4.开始自顶向下：
    for 选择：（选择就是能使状态发生变化的动作）
    	{
	        该选择是否使得状态转移到一个有效的状态，否：continue
	        memo[state]=min/max{memo[state],状态转移方程}
	    }
    
    5.记入备忘录
    
    return memo[state]

迭代法-自底向上

迭代法不需要备忘录，因为他是自底向上的，不会出现重复计算的情况，所以也不需要判断是否计算过

自底向上主要是定义数组dp[i]
i是状态
dp[i]是状态i对应的答案

给出base case的结果

初始化dp[i]:求最小值，就初始化为INF(或者该状态可能取到的最大值)；求最大值，就初始化为0
//这一步和上面初始化memo[state]一样，是为了求最值，不是初始化备忘录

自底向上
    for 状态（从base case开始）:
        for 选择（每个能使状态发生改变的动作）:
        {
            是否使状态到达有效状态，否则continue
            dp[i]=min/max(dp[i],状态转移方程)
        }