Codeforces Round700 div2部分题题解

B.The Great Hero

英雄有$A(1\le A\le 10^9)$的攻击，$B(1\le B\le 10^9)$的血量。有$n(1\le n\le 10^5)$只怪物，每只怪物有$a_i(1\le a_i\le 10^9)$的攻击，$b_i(1\le b_i\le 10^9)$的血量。英雄可以每次选择一个怪物进行战斗，之后英雄的血量变为$B-a_i$，怪物的血量变为$b_i-A$。判断对于给定的$n$只怪物，英雄是否能够战胜（最后同归于尽也算作战胜）。

最初我有一种朴素的想法：假设怪物是3只小兵一个Boss，小兵对英雄没有威胁，但是Boss和英雄可以互秒。那策略显然就是先打小兵，后打Boss。进而想到，对n只怪物排序，能对英雄造成的伤害高的最后打。但这种想法是错的，可以看这组hACk数据：

1
1 100 2
1 11
80 2
// 你的攻击/血量：1 100
// 怪物1的攻击/血量：1 80
// 怪物2的攻击/血量：11 2

仔细想一下，如果这道题没有可以同归于尽这个设定的话，其实这道题就与顺序无关，无论先打哪个都一样。

但由于同归于尽，我们就需要仔细思考了。我们可以这样想：我们将一个需要砍n刀的怪物分成n个攻击力不变，但一刀就可以砍死的怪物(因为战斗是回合制)。这样，每一只怪物与我们战斗都是有同归于尽的可能的。而我们与攻击力高的怪物同归于尽的可能性更大，所以最优策略是攻击力最高的怪物最后打。

进一步地，我们可以找出一个更好写代码的方法：先于所有的怪物战斗（无论怪物的顺序，即便血量降到0以下也继续），然后将血量加上怪物的最高攻击力（这就相当于回到了杀死了所有其他怪物，与最后一只怪物快要同归于尽时的情况）。如果加之后血量仍小于0，说明我们撑不到这个时候，否则我们一定能与最后一只怪物同归于尽。

其实由于数据比较水，枚举每一个怪物作为最后一只与英雄战斗的怪物，并判断战胜其他怪物之后的英雄是否能够战胜它也能卡过去。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
ll a[maxn], b[maxn];

int main()
{
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		ll A, B, n;
		scanf("%lld%lld%lld", &A, &B, &n);
		ll maxa = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%lld", &a[i]);
			maxa = max(a[i], maxa);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%lld", &b[i]);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (b[i] % A == 0) {
				B -= a[i] * (b[i] / A);
			}
			else {
				B -= a[i] * (b[i] / A);
				B -= a[i];
			}
		}
		B += maxa;
		if (B > 0) {
			printf("YES\n");
		}
		else {
			printf("NO\n");
		}
	}

	return 0;
}

C.Searching Local Minimum

D1.Painting the Array I

定义$seg(a)$为合并$a$中连续相同元素后剩余元素个数。现在要求你将一个长度为$n(1\le n\le 10^5)$的数组a拆分成两个，但不能破坏其相对位置。 例如$a=[1,2,3,4,5,6]$，$a_{(0)}=[1,3,5,6]$和$a_{(1)}=[2,4]$是一种可行的拆分方案。求最大可能的$seg(a_{(0)})+seg(a_{(1)})。$

采取贪心策略：$a_{(0)}$的最后一个元素为$x$，$a_{(1)}$的最后一个元素为$y$，从头往后遍历，对于第$i$个数$a_i$，考虑将其加入$a_{(0)}$还是$a_{(1)}$。

首先有一个很显然的策略：如果$a_i$与$x,y$中的一个相同，那么就将其加进不相同的那一个数列中。如果与两个都相同，那么随便加进哪个都无所谓。

比如$1,1,1,2,3$。如果将第一个1加入数组$a_{(0)}$，那么显然将第二个1加入$a_{(1)}$是更好的选择，而第三个1无论加到哪里都不会影响结果。

唯一需要考虑的就是$x,y,a_i$都不同的情况。

比如$1,1,2,3,1,1,2$。最好的策略(之一)就是$a_{(0)}=[1,2,1,2],a_{(1)}=[1,3,1]$。
当分配3的时候，$a_{(0)}=[1,2],a_{(1)}=[1]$，那么显然3应该分配给$a_{(1)}$来将$a_{(1)}$中末尾的1和后面将要分配的1隔开。

但是数组a中后面待分配的还有2，2在分配3时出现在$a_{(0)}$的末尾。那么为什么选择将3分配给$a_{(1)}$呢？

这就需要权衡把$x,y$中的哪一个和后面隔开 “更迫切” 了。

可以预处理一个数组叫$next$，$next[x]$表示值$x$下一次出现的位置。
在上例中，当分配3的时候，$a_{(0)}=[1,2],a_{(1)}=[1]$，$next[1]=5,next[2]=7$，所以考虑用3先将1隔开。

以上的“哪一个更迫切”只是便于理解的说法，官方题解通过分类讨论给出了一个严格的证明。（其实官方那边也给了Intuitive和Formal两种）