509. 斐波那契数

本文深入探讨了斐波那契数列的概念,介绍了递归、动态规划等不同算法实现,并提供了LeetCode中509题的解题思路和代码示例,帮助读者理解并解决斐波那契数列相关的编程问题。

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class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n<2) {
            return n==1 ? 1:0;
        }
        int [] arr = new int [n+1];
        arr[0] =0;
        arr[1] =1;
        for (int i=2;i<n+1;i++) {
            arr[i] =arr[i-1] +arr[i-2];
        }
        return arr[n];
    }
}

<think>好的,我现在需要处理用户关于C++实现斐波那契列的LeetCode题目及解答的查询。首先,用户提到了几个引用,我需要仔细查看这些引用内容,确保回答准确并正确引用。 首先,用户提供的引用1到4都涉及斐波那契列的动态规划实现,尤其是C++和Python的代码示例。引用3提到递归方法的效率问题,引用4则讨论了LeetCode上的动态规划解法。用户的问题明确要求查找LeetCode题目及C++的解答,因此我需要整合这些信息。 接下来,我需要确定LeetCode中相关的题目编号。根据引用1和4提到的#509题,这应该是主要的题目。然后,我需要提供题目描述,并给出对应的C++解决方案。同时,用户可能希望了解不同的方法,如递归、动态规划和优化后的动态规划,所以需要覆盖这些方面,并指出各自的优缺点,特别是递归的效率问题,如引用3所述。 在编写回答时,需要遵循用户提供的系统级指令,包括使用正确的中文,学公式的格式,以及引用标识。例如,斐波那契列的定义需要用行内公式$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$,而独立公式可能需要用$$...$$,不过根据示例来看,用户可能更倾向于行内公式。此外,每个引用的末尾需要添加对应的引用标识,如[^1]、[^3]等。 另外,用户要求生成相关问题,我需要根据内容提出三个相关问题,例如关于不同方法的比较、时间复杂度的分析,或者应用场景。这些问题需要与斐波那契列的实现和优化相关,确保有针对性。 最后,需要检查代码的正确性,特别是C++部分,确保代码在LeetCode上可以通过,同时注意引用3中提到的递归方法在n较大时超时的问题,因此需要强调动态规划的优势。此外,可能需要提到矩阵快速幂或通项公式作为进一步的优化,但根据引用内容,用户提供的资料中没有这些,所以可能暂时不深入,或者简单提及。 总结步骤: 1. 确定LeetCode题目编号为509,并描述题目要求。 2. 提供三种方法:递归(低效)、动态规划(高效)、优化空间的动态规划。 3. 分析各方法的时间复杂度,引用相关文献说明递归的问题。 4. 添加相关问题,确保符合用户要求。 5. 正确使用引用标识,确保每个引用来源对应正确的内容。 需要验证每个代码片段是否正确,特别是动态规划部分,避免错误。例如,递归方法在n大时确实会有重复计算,动态规划通过存储中间结果来优化。同时,空间优化版本只需两个变量,降低空间复杂度。 最后,确保回答结构清晰,分点说明,代码用正确的格式包裹,引用标识自然添加在对应的解释后面。</think>### C++ 实现斐波那契列的 LeetCode 题目及解答 #### LeetCode 题目 #509. 斐波那契 **题目描述**: 写一个函,输入 $n$ ,返回斐波那契列的第 $n$ 项 $F(n)$。斐波那契列定义为: $$ F(0) = 0, \quad F(1) = 1, \quad F(n) = F(n-1) + F(n-2) \quad (n \geq 2) $$ 要求时间复杂度尽可能低。 --- #### C++ 解答及分析 ##### 1. 递归方法(低效,不推荐) **问题**:递归会导致大量重复计算,时间复杂度为 $O(2^n)$,当 $n$ 较大时会超时。 ```cpp class Solution { public: int fib(int n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1 || n == 2) return 1; return fib(n-1) + fib(n-2); } }; ``` ##### 2. 动态规划方法(高效) **思路**:用组存储中间结果,避免重复计算,时间复杂度 $O(n)$,空间复杂度 $O(n)$[^1][^4]。 ```cpp class Solution { public: int fib(int n) { if (n <= 1) return n; int dp[n+1]; dp[0] = 0; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; } return dp[n]; } }; ``` ##### 3. 优化空间的动态规划 **思路**:仅用两个变量存储前两项,空间复杂度优化为 $O(1)$[^3]。 ```cpp class Solution { public: int fib(int n) { if (n <= 1) return n; int prev = 0, curr = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { int next = prev + curr; prev = curr; curr = next; } return curr; } }; ``` --- #### 关键点总结 - **递归方法**:直观但效率低,适用于教学演示,实际应用需避免。 - **动态规划**:通过存储中间结果显著提升效率,是标准解法。 - **空间优化**:进一步减少内存占用,适合资源受限的场景。 ---
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