HDU 6185Covering(矩阵快速幂)

本文探讨了一个关于使用1×2和2×1地毯完全覆盖4×n大小操场的问题,不允许地毯重叠。通过数学推导得出了解决方案的递推公式,并采用矩阵快速幂的方法进行高效计算。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Covering

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Problem Description

Bob's school has a big playground, boys and girls always play games here after school.

To protect boys and girls from getting hurt when playing happily on the playground, rich boy Bob decided to cover the playground using his carpets.

Meanwhile, Bob is a mean boy, so he acquired that his carpets can not overlap one cell twice or more.

He has infinite carpets with sizes of 1×2 and 2×1, and the size of the playground is 4×n.

Can you tell Bob the total number of schemes where the carpets can cover the playground completely without overlapping?

Input

There are no more than 5000 test cases. 

Each test case only contains one positive integer n in a line.

1n1018

Output

For each test cases, output the answer mod 1000000007 in a line.

Sample Input

1
2

Sample Output

1
5

Source

2017ACM/ICPC广西邀请赛-重现赛(感谢广西大学)
想法:
  1. 推导公式:F[i]   = F[i-1] + 5*F[i-2] + F[i-3] - F[i-4] 
代码;
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 4;
const ll mod= 1e9+7;
struct Matrix
{
    ll tmp[maxn][maxn];
}a;
void init()
{
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            a.tmp[i][j]=0;
        }
    }
    a.tmp[0][0]=a.tmp[0][2]=1;
    a.tmp[0][1]=5;
    a.tmp[0][3]=-1;
    a.tmp[1][0]=a.tmp[2][1]=a.tmp[3][2]=1;
    return;
}
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            ans.tmp[i][j]=0;
            for(int k=0;k<maxn;k++)
            {
                ans.tmp[i][j]+=(a.tmp[i][k]*b.tmp[k][j]+mod)%mod;
                ans.tmp[i][j]%=mod;
            }
        }
    return ans;
}
void fun(Matrix ans,ll k)
{
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            a.tmp[i][j]=(i==j);
        }
    }
    while(k)
    {
        if(k%2)  a=mul(a,ans);
        ans=mul(ans,ans);
        k/=2;
    }
    return ;
}
int main()
{
    Matrix t;
    ll n;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            t.tmp[i][j]=0;
        }
    }
    t.tmp[0][0]=36;
    t.tmp[1][0]=11;
    t.tmp[2][0]=5;
    t.tmp[3][0]=1;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        init();
        if(n<=4)
        {
            printf("%lld\n",t.tmp[4-n][0]);
            continue;
        }
        fun(a,n-4);
        a=mul(a,t);
        printf("%lld\n",a.tmp[0][0]%mod);
    }
    return 0;
}


### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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