清华大学2010年考研复试题

最新推荐文章于 2022-05-26 21:12:42 发布

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本文探讨了两种解决特定数学问题的算法：一种利用递归化简和系数计算，另一种则采用快速模幂法。通过实例解析，详细介绍了如何计算root(x^y,k)的值，适用于k进制下的复杂运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

N<k时，root(N,k) = N，否则，root(N,k) = root(N',k)。N'为N的k进制表示的各位数字之和。输入x,y,k，输出root(x^y,k)的值 (这里^为乘方，不是异或)，2=<k<=16，0<x,y<2000000000，有一半的测试点里 x^y 会溢出int的范围(>=2000000000)

输入描述:

    每组测试数据包括一行，x(0<x<2000000000), y(0<y<2000000000), k(2<=k<=16)

输出描述:

    输入可能有多组数据，对于每一组数据，root(x^y, k)的值

示例1

输入

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4 4 10

输出

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这道题同样也是一道数学题，硬算难度极大。查看网上别人的解法，大致有两种数学规律可以用于解答这道题。

第一种方法
$x=a_0+a_1*k+a_2*k^2+...+a_{n}*k^{n}$
$coefficient(x2)=∑i=1nai2+2∗∑i!=jnaia=(∑i=1nai)2coefficient(x^2)=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+2*\sum_{i!=j}^{n}a_ia=(\sum_{i=1}^{n}a_i)^2$
$coefficient(x^2)=(coefficient(x))^2$
因此可以递归化简此式。
$root(x, y, k) = root((root(x, y / 2, k))^2, 1, k)， (y\%2=0))$

$root(x, y, k) = root((root(x, y / 2, k))^2 * root(x, 1, k), 1, k)， (y>1,y\%2=1)$

$r o o t (x, 1, k) = c o e f f i c i e n t (x)$
AC代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int get(int x,int k){
	while(x>=k){
		int sum=0;
		while(x!=0){
			sum+=x%k;
			x=x/k;
		}
		x=sum;
	}
	return x;
}
int root(int x,int y,int k){
	if(y==1) return get(x,k);
	else if(y%2==0) return get(pow(root(x,y/2,k),2),k);
	else return get(pow(root(x,y/2,k),2)*root(x,1,k),k);
}
int main(){
	int x,y,k;
	while(cin>>x>>y>>k){
		cout<<root(x,y,k)<<"   ";
	}

	return 0;
}

第二种方法
第二种方法比第一种方法更加简单，但要用到快速模幂的方法。
$N=a_0+a_1*k+a_2*k^2+...+a_{n}*k^{n} (N=x^y)$
$coefficient(N)=a_0+a+a+...+a$
$N-coefficient(N)=a_1*(k-1)+a_2*(k^2-1)+...+a_{n}*(k^{n}-1)$
$coefficient(N)−coefficient(coefficient(N))=a1′∗(k−1)+a2′∗(k2−1)+...+an′∗(kn−1)coefficient(N)-coefficient(coefficient(N))=a_1'*(k-1)+a_2'*(k^2-1)+...+a_{n}'*(k^{n}-1)$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$ 递推可得：
$(N−final(N))%（k−1）=0(N-final(N))\%（k-1）=0$
$N%(k−1)=final%(k−1)N\%(k-1)=final\%(k-1)$
因此只需求N对k-1的余数就够了。

#include <stdio.h>
int main(){
    for(long x,y,k,r;~scanf("%ld%ld%ld",&x,&y,&k);){
        for(r=1,k-=1;y;r=(y&1?r*x%k:r),x=x*x%k,y>>=1);
        printf("%ld\n",r?r:k);
    }
    return 0;
}