极大连通子图与极小连通子图(带图讲解)

本文深入探讨了无向图和有向图的连通性概念,包括极大连通子图、极小连通子图、强连通图及它们的极大子图。解析了生成树作为极小连通子图的角色,以及强连通图的特性。

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因为本人对于这一块知识存在疑惑,在学习了相关知识后将自己的理解分享给大家,如有错误,欢迎纠正。
首先我们先明确一下,极小连通子图与极大连通子图是在无向图中进行讨论的。
极大强连通子图是在有向图中进行讨论的,不存在极小强连通子图。

无向图

连通图
无向图中,若从定点V1到V2有路径,则称顶点V1和V2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。(连通的无向图)
在这里插入图片描述
极大连通子图
1.连通图只有一个极大连通子图,就是它本身。(是唯一的)
2.非连通图有多个极大连通子图。(非连通图的极大连通子图叫做连通分量,每个分量都是一个连通图)
3.称为极大是因为如果此时加入任何一个不在图的点集中的点都会导致它不再连通。
下图为非连通图,图中有两个极大连通子图(连通分量)。
在这里插入图片描述
极小连通子图
1.一个连通图的生成树是该连通图顶点集确定的极小连通子图。(同一个连通图可以有不同的生成树,所以生成树不是唯一的)
(极小连通子图只存在于连通图中)
2.用边把极小连通子图中所有节点给连起来,若有n个节点,则有n-1条边。如下图生成树有6个节点,有5条边。
3.之所以称为极小是因为此时如果删除一条边,就无法构成生成树,也就是说给极小连通子图的每个边都是不可少的。
4.如果在生成树上添加一条边,一定会构成一个环。
也就是说只要能连通图的所有顶点而又不产生回路的任何子图都是它的生成树。
在这里插入图片描述
总结来说:极大连通子图是讨论连通分量的,极小连通子图是讨论生成树的。
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在这里顺带提一下强连通图和极大强连通子图。

强连通图

强连通图:在有向图中,若对于每一对顶点Vi和Vj,都存在一条从Vi到Vj和从Vj到Vi的路径,则称此图为强连通图。(连通的有向图)
在这里插入图片描述
有n个顶点的强连通图最多有n(n-1)条标,最少有n条边。(4个顶点的强连通图图示如上图和下图)
在这里插入图片描述
极大强连通子图:
1.强连通图的极大强连通子图为其本身。(是唯一的)
2.非强连通图有多个极大强连通子图。(非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量)
极小强连通子图:不存在这个概念

### 极大连通子图极小连通子图的区别 极大连通子图极小连通子图论中的两个重要概念,它们分别用于描述的不同性质和结构,适用于无向中。 #### 极大连通子图 极大连通子图是指一个无向中尽可能大的连通子图。具体来说: - 如果一个无向连通的,那么它的极大连通子图就是它本身,且是唯一的。 - 如果一个无向是非连通的,那么它会包含多个极大连通子图,这些子被称为连通分量。每个连通分量都是一个极大连通子图,并且每个分量内部是连通的,而分量之间互不连通。 - 极大连通子图的“极大”性质体现在,如果向其中添加任何一个不在该子中的顶点,都会导致该子不再连通[^1]。 例如,一个非连通图可能包含两个或多个极大连通子图,每个子内部顶点之间都有路径相连,但子之间没有路径连接。 #### 极小连通子图 极小连通子图是指一个连通图中边数最少的连通子图。具体来说: - 极小连通子图通常指的是连通图的生成树。生成树是一个极小连通子图,它包含中的所有顶点,但只有足以连通所有顶点的边,且不包含任何回路。 - 对于一个包含 $ n $ 个顶点的连通图,其生成树恰好包含 $ n-1 $ 条边。 - 极小连通子图的“极小”性质体现在,如果删除其中任何一条边,该子将不再连通。 - 如果在生成树的基础上添加一条边,一定会形成一个环[^1]。 #### 主要区别 1. **应用场景不同**:极大连通子图用于描述非连通图中各个连通部分的结构,而极小连通子图用于描述连通图中边数最少的连通结构(即生成树)。 2. **性质不同**:极大连通子图调“最大性”,即不能添加额外的顶点而不破坏连通性;而极小连通子图调“最小性”,即不能删除任何边而不破坏连通性。 3. **边数不同**:极大连通子图的边数取决于原连通情况,可能较多;而极小连通子图的边数固定为 $ n-1 $,是最少的。 #### 示例代码 以下是一个生成树的示例代码,用于计算一个连通图极小连通子图: ```python from collections import defaultdict def build_graph(edges): graph = defaultdict(list) for u, v in edges: graph[u].append(v) graph[v].append(u) return graph def dfs(graph, start, visited, parent): visited.add(start) for neighbor in graph[start]: if neighbor not in visited: visited.add(neighbor) dfs(graph, neighbor, visited, start) def is_connected(graph, vertices): visited = set() dfs(graph, next(iter(vertices)), visited, -1) return len(visited) == len(vertices) def generate_spanning_tree(edges, vertices): spanning_tree = [] visited = set() graph = build_graph(edges) for u in vertices: if u not in visited: visited.add(u) for v in graph[u]: if v not in visited: spanning_tree.append((u, v)) visited.add(v) return spanning_tree # 示例:生成一个包含6个顶点的连通图的生成树 edges = [(0, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)] vertices = {0, 1, 2, 3, 4, 5} spanning_tree = generate_spanning_tree(edges, vertices) print(f"生成树的边为:{spanning_tree}") ``` ###
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