互不侵犯King

P1896
https://www.luogu.org/problem/show?pid=1896
这是一道状压dp题(状态压缩)。It`s the first time that I had accepted a zhuangya dp problem!
把一行每一位放与不放用二进制中的01表示,状态压缩就是将一行的状态用一个二进制数表示。
解法在代码的注释中:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,all;
bool f1[513];//表示一行i状态可不可以放 
bool f2[513][513];//表示相邻两行i和j状态可不可放
int cnt[513];
int f[20][101][513];//f[i][j][k]表示放到第i行,放了j个王,当前这行状态为k,的方案数  
void pre()
{
    for(int i=0;i<all;i++)
     if((i&(i>>1))==0){
        f1[i]=1;
        for(int x=i;x;x=x>>1)
         cnt[i]+=(x&1);//这个数转为二进制有多少个1 
    }
    for(int i=0;i<all;i++) if(f1[i])
     for(int j=0;j<all;j++) if(f1[j])
      if(((i&(j>>1))==0)&&((j&(i>>1))==0)&&((j&i)==0))
       f2[i][j]=1;
} 
int main()
{
    //freopen("a.in","r",stdin); 
    scanf("%d%d",&n,&m);
    all=(1<<n);

    pre();

    for(int i=0;i<all;i++) f[0][cnt[i]][i]=1;

    for(int i=1;i<n;i++)
     for(int j=0;j<all;j++) if(f1[j])//上一行的状态 
      for(int k=0;k<all;k++) if(f1[k])//当前第i行的状态 
       if(f2[j][k]){
            for(int p=cnt[j];p+cnt[k]<=m;p++)
             f[i][p+cnt[k]][k]+=f[i-1][p][j];//前i-1行放了p个,且第i-1行状态为j的方案数 之和 
    } 
    int ans=0; 
    for(int j=0;j<all;j++)
      ans+=f[n-1][m][j];
    printf("%d",ans);
    return 0;     
}
### 关于SCOI2005 互不侵犯问题的DFS解法 对于SCOI2005 互不侵犯这一问题,采用深度优先搜索(DFS)的方法同样能够解决问题。这种方法通过尝试每一种可能的情况来寻找满足条件的结果。 #### DFS解题思路 在解决此问题时,DFS算法会逐行放置国王,并确保任何两个国王之间不会互相攻击。具体来说: - 使用二进制数表示每一行的状态,其中`1`代表当前位置已放置国王,`0`则为空白。 - 对于每一个新的行,在所有未被先前行中的国王威胁的位置上尝试放置新国王。 - 如果当前行的所有列都遍历完毕,则回溯至上一行继续探索其他可能性。 - 当成功放置了指定数量的国王后,计数器加一;如果某次递归达到了最后一行且仍未完成目标,则返回并调整之前的决策。 为了提高效率,还需要提前计算出哪些状态是合法的——即不存在连续两位都是`1`的状态,这可以通过简单的枚举实现[^4]。 #### Python代码实现 下面是一个基于上述逻辑编写的Python程序片段用于求解该问题: ```python def dfs(row, col_mask, left_diag, right_diag): global n, k, ans if row == n: if sum(bin(col)[2:].count('1') for col in cols) == k: ans += 1 return for i in range(1 << n): if bin(i).count('1') + sum(cols[:row]) > k: continue ok = ((~col_mask & ~left_diag & ~right_diag & (i)) == i) if not ok or '11' in bin(i): continue new_col_mask = col_mask | i new_left_diag = (left_diag | i) << 1 new_right_diag = (right_diag | i) >> 1 dfs(row + 1, new_col_mask, new_left_diag, new_right_diag) n, k = map(int, input().split()) cols = [0]*n ans = 0 dfs(0, 0, 0, 0) print(ans) ``` 这段代码定义了一个名为`dfs()`函数来进行深度优先搜索,它接收四个参数分别表示当前处理的是哪一行(`row`)、当前列上的占用情况(`col_mask`)、左斜线方向上的占用情况(`left_diag`)以及右斜线方向上的占用情况(`right_diag`)。全局变量`n`, `k`用来保存棋盘大小和要放置的国王数目,而`ans`则是最终答案的数量。
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