上官永石的博客

1. 特征值分解（EVD）如果 AAA 是一个 m×mm\times mm×m 的 实对称矩阵（A=ATA=A^TA=AT） ，如果存在 mmm 维列向量 qqq 和实数 λ\lambdaλ 满足 Aq=λqAq=\lambda qAq=λq，则称 qqq 为 AAA 的 特征向量、λ\lambdaλ 为 AAA 的 特征值。如果我们求出 AAA 的 mmm 个特征值与特征向量，并将所有特征向量标准化，则可以得到标准正交矩阵 Q=[q1,q2,⋯ ,qm],Q∈Rm×mQ=[q_1, q_2, \c

十三、1. 等概率假设下的量子懒惰学习       通过之前的讨论我们可知，如果我们知道了用来描述联合概率的多体态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ ，我们就可以通过联合概率密度计算每张图片出现的概率。概率型机器学习的核心也就是求得概率密度，联合概率密度是由 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 构成的，所以我们的主要任务就是构造 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ ，一种最简单的方法定义 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ

十二、张量网络机器学习1. 机器学习基本思想       简单来说，机器学习可以看成是一个接受输入信息后，输出想要得到的目标信息的一种模型。我们进行机器学习的目的就是找到这种模型，让这种模型能够进行这种信息的转换。       机器学习的几个常见的例子如下：图形识别中，输入图片信息，输出图像分类语言翻译中，输入源语言文字，输出翻译后语言文字自动驾驶

无穷大张量网络的本征自洽方法张量网络的梯度更新任意张量网络的收缩

十、张量网络收缩算法1. 张量网络的基本定义       通过前面的学习，我们对张量网络有了简单的了解，这里我们给出张量网络的一般定义：由多个张量按照一定的收缩规则构成的模型，被称为张量网络。       其中，收缩规则由张量网络形成的图确定，网络中的一个节点代表一个张量，与该节点连接的边代表该张量的指标，连接不同节点的边代表对应张量的共有指标，我们需要把这些

无穷长平移不变的 MPS矩阵乘积态的涨落矩阵乘积态与纠缠熵面积定律MPO 与一维热力学计算

八、TEBD 与 DMRG 算法1. TEBD 算法       我们给定一个大小为 W×HW\times HW×H 个张量组成的网络（设 H 为偶数），其图形表示如下：该张量网络由三种不同的张量构成，在四个角上的为二阶张量，边上的为三阶张量，内部的为四阶张量，边上的数字表示第几个指标。很多物理问题可最终等价为类似的张量网络收缩计算问题，即将该张量网络收缩为一个数。如，经典模型热力学配分函数的计算，量子格点模型基态的计算等。严

六、矩阵乘积态1. 矩阵乘积态的定义       由于基态的参数复杂度随量子个数 NNN 的增加呈指数上升，所以我们无法在经典计算机上进行严格对角化求解基态，但是对于 NNN 个量子组成的整体 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 的在基态上的系数组成的张量，如果我们可以将其写为 NNN 个二阶或三阶张量构成的 TT 形式，那么我们可以通过优化这 NNN 个张量，求解基态对应的最优化问题：Eg=min⁡⟨g∣g⟩=1⟨g∣

经典热力学基础、ISING 伊辛模型、量子格点模型、退火算法计算基态

五、Tensor-train分解1. 量子态与量子算符       我们知道，量子的状态用态矢 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 来表示，可以表示为基态的线性组合的系数构成的列向量，算符表示对态矢的操作，可以通过矩阵来表示。       给定基矢，确定量子态与算子的矩阵表示后，相关的计算变为向量与矩阵的运算。对量子态做的某种操作可以转换为矩阵表示的算子

张量表示1. 张量的另一种表示方法      前面我们学习了张量的基本概念，我们知道，一个标量我们定义为零阶张量，一个矢量我们称为一阶张量，矩阵称为二阶张量。。。      为了更加便捷的表示张量，我们用一个新的方式表示张量：用一个有 NNN 个腿的圆形形表示 NNN 阶张量，如下所示：...

Tucker 分解Tucker 分解       Tucker 分解法可以被视作一种高阶 PCA. 它将张量分解为核心张量在每个mode上与矩阵的乘积. 因此, 对三阶张量 X∈RI×J×K\mathcal{X}\in\mathbb{R}^{I \times J \times K}X∈RI×J×K ，我们有如下分解：X≈G×1A×2B×3C=∑p=1P∑q=1Q∑r=1Rgpqr ap∘bq∘cr=[ ⁣[G ;A,B,C] ⁣

张量二1. 张量的几个概念张量的内积       相同大小的两个张量 X,Y∈RI1×I2×⋯×IN\mathcal{X},\mathcal{Y} \in \mathbb{R}^{I_1 \times I_2 \times \dots \times I_N}X,Y∈RI1​×I2​×⋯×IN​ ，其内积为对应位置的元素相乘后，将所有位置的乘积累加，可以用公式表示为：⟨X,Y⟩=∑i1=1I1∑i2=1I2⋯∑iN=1INx

张量一1.张量的定义       首先我们来了解一下什么是张量，张量有四个定义：张量是多维数组张量是一种不随坐标系的改变而改变的几何对象张量是向量和余向量，不会随着坐标系的改变而改变张量是多重线性映射，即T：V∗×⋯×V∗⏟m×V×⋯×V⏟n→R，V是矢量空间，V∗是对应的对偶空间T：\underbrace{V^* \times \cdots \times V^*}_m \times \underbrace{V