Gabor变换过程详细推导

写在前面

强烈建议阅读博文 matlab学习：图像频域分析之Gabor滤波，该篇博文写的非常好，由浅入深，对于Gabor滤波的由来及优点等叙述的非常完善。在本篇中，将集中于公式的推导。

一维情况

在传统的傅里叶变换中：
$$F(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$
相应的逆变换为：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
傅里叶变换只能反映整体的频率特性，无法获得某一时刻的频率响应，我们无法将时域频域结合起来进行分析。为此，我们可以对原始函数加窗，即为窗口傅里叶变换，也为Gabor变换。

一维Gabor核

令原始函数$f\in L^2(R)$,则加窗傅里叶变换为：
$$G_f(a;b,\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)g_a^{}(t-b)e^{}$$