四阶龙格库塔法解一维扩散方程

最新推荐文章于 2025-09-10 10:11:48 发布

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本文介绍了使用四阶龙格库塔法解决一维扩散方程的方法，通过直线法将偏微分方程转换为常微分方程，利用中心差分格式处理空间二阶导数，并结合C++与Eigen库进行矩阵运算。讨论了关键步骤如中间量取值，展示了计算结果并分析了误差，与欧拉法进行了对比。

龙格库塔法是解ode的利器，最近有个project是用龙格库塔法解pde，做的时候网上这方面能搜到的资料还不多，传一下自己的解法。

直线法（method of line）把pde化为ode，离散化为空间n个格点上的一元函数，用向量表示
$u(x,t_i)→\{u_1(t),u_2(t)...,u_n(t)\}_i^T=\vec{u}_i$
空间的二阶导用中心差分格式处理，写成矩阵形式
$\frac{\partial u^2}{\partial^2 x}=\frac{1}{\Delta x^2} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 &\cdots & \vdots \\ 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -2 \end{pmatrix}·\left \{ \begin{matrix} u_1(t)\\u_2(t)\\\vdots \\\vdots \\u_n(t) \end{matrix} \right\} =\frac{\partial u}{\partial t} =C·\vec{u}_i$