28. 搜索二维矩阵

写出一个高效的算法来搜索 m × n矩阵中的值。

这个矩阵具有以下特性:

  • 每行中的整数从左到右是排序的。
  • 每行的第一个数大于上一行的最后一个整数。
样例

考虑下列矩阵:

[
  [1, 3, 5, 7],
  [10, 11, 16, 20],
  [23, 30, 34, 50]
]

给出 target = 3,返回 true

挑战 

O(log(n) + log(m)) 时间复杂度

思路
目标是由多个vector向量组成的二维数组,并且充分利用给出矩阵的特点,
  • 每行中的整数从左到右是排序的。
  • 每行的第一个数大于上一行的最后一个整数。
即可以先判断要查的数是否比某个向量的最后一个要大。如果大于,就说明不在这个向量内,可以继续判断后面的,如果小于,说明要找的数在这个向量中,然后就可以逐个查找。
同时符合提高中的 O(log(n) + log(m)) 时间复杂度
bool searchMatrix(vector<vector<int>> &s, int target) {
	int i;
    for(i=0;i<s.size();i++){
		if(target>s[i][s[i].size()-1]){
	    	continue;
	    }else{
	    	break;
	    }
    }
    if(s.size()==0){return false;}
    for(int j=0;j<s[i].size();j++){
    	if(target==s[i][j]){
    		return true;
    	}
    }
    return false;
}


### 关于二维矩阵搜索算法的实现方法 #### 基本概念 在处理二维矩阵时,通常会遇到两种主要类型的搜索问题:一是基于特定条件的目标值查找;二是路径规划类问题。对于目标值查找,可以利用矩阵的特点设计高效的搜索策略[^1]。 --- #### 高效查找目标值的方法 ##### 方法一:逐行二分法 如果给定的矩阵每一行都按升序排列,则可以通过逐行应用二分查找来提高效率。这种方法的时间复杂度为 \(O(m \log n)\),其中 \(m\) 是矩阵的行数,\(n\) 是列数[^2]。 ```python def search_matrix_binary_search(matrix, target): if not matrix or not matrix[0]: return False rows = len(matrix) cols = len(matrix[0]) for row in range(rows): # 对当前行执行二分查找 left, right = 0, cols - 1 while left <= right: mid = (left + right) // 2 if matrix[row][mid] == target: return True elif matrix[row][mid] < target: left = mid + 1 else: right = mid - 1 return False ``` --- ##### 方法二:从右上角或左下角出发的线性扫描 通过选取矩阵的右上角(或左下角)作为起始点,可以根据当前位置与目标值的关系调整搜索方向。此方法时间复杂度为 \(O(m+n)\)[^3]。 ```java public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) { int row = matrix.length; if (row == 0) return false; int col = matrix[0].length; int i = 0, j = col - 1; while (i >= 0 && i < row && j >= 0 && j < col){ if (matrix[i][j] < target){ i++; } else if (matrix[i][j] > target){ j--; } else{ return true; } } return false; } ``` --- #### 路径规划类问题 当涉及路径规划时,常见的解决方案包括广度优先搜索(BFS)、深度优先搜索(DFS),以及动态规划等技术。以下是使用 DFS 的一种简单实现方式[^4]: ```python import numpy as np def find_path(matrix, start, end): visited = set() path = [] def dfs(current_pos): if current_pos == end: return True x, y = current_pos if ( x < 0 or x >= len(matrix) or y < 0 or y >= len(matrix[0]) or matrix[x][y] == 1 or current_pos in visited ): return False visited.add(current_pos) path.append(current_pos) directions = [(0, 1), (1, 0), (-1, 0), (0, -1)] for dx, dy in directions: next_x, next_y = x + dx, y + dy if dfs((next_x, next_y)): return True path.pop() # 如果无法到达终点,回溯 return False if dfs(start): return path else: return None ``` 上述代码中,`matrix` 表示障碍物地图,`start` 和 `end` 分别代表起点和终点坐标。需要注意的是,在实际应用场景中可能还需要考虑递归深度等问题。 --- #### 总结 针对不同的需求场景可以选择合适的算法。如果是单纯的目标值查找,推荐采用从右上角或左下角出发的方式以获得更优性能;而对于复杂的路径规划问题,则需综合运用多种图论算法并加以优化。
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