面试题14.剪绳子I II

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为
k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1]
可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

算法思路

1.当n的值较小时

方法一：动态规划

状态定义：定义一个一维数组dp，dp[i]的值表示长度为i的绳子的最大乘积；
状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1]*1，dp[i-2]*2，dp[i-3]*3，…),其中dp[a]*b中a必须大于等于b;
初始 化：初始dp[1] = 1，dp[0]不需要；
返回值：dp[n]

复杂度分析
时间复杂度：O(N^2),双层for循环；
空间复杂度：O(N)，使用数组记录状态值，额外开辟了空间。

方法二：数学方法

参考数学推导法，通过数学推导，可以得出，对于数字n能够拆分为最大乘积都是由数字3拆分，而当每次拆一个3后续剩余的数字，如果最后是4，由于4 = 2+2 = 3+1，但22 > 31，所以当剩4时，最后4不在拆分为3+1。

复杂度
时间复杂度：O(1)，空间复杂度：O（1）

代码

class Solution {

    /***************** 动态规划 *********************/
    public int cuttingRope1(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<i;j++)
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j,dp[j])*(i-j));
        }
        return dp[n];
    }

    /***************** 数学方法 *********************/
    public int cuttingRope(int n){
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        int a = n/3,b = n%3;
        if(b == 0) return (int)Math.pow(3,a);//强制类型转换，pow函数算出来的数是doubl类型
        if(b == 1) return (int)Math.pow(3,a-1)*4;
        return (int)Math.pow(3,a)*2;
    }
}

2.当n的值较大时，超出了int的范围

当n较大时，答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

同样通过将数学方法稍微转换一下，把pow函数，通过贪心算法来实现，每次n,自减3，结果res每次乘以3，然后再取模，直到n=4为止。

复杂度
时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(1)

代码

class Solution {

    /***************** 贪心算法 *********************/
    public int cuttingRope(int n){
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        long res = 1;
        while(n > 4){
            n -= 3;
            res *= 3;
            res %= 1000000007;
        }
        return (int)(res * n % 1000000007);   
    }

}