opencv图像处理之图像变换(傅里叶变换)

1.原理

• 傅里叶变换经常被用来分析不同滤波器的频率特性。我们可以使用2D 离散傅里叶变换(DFT) 分析图像的频域特性。实现DFT 的一个快速算法被称为快速傅里叶变换（FFT）。
• 对于一个正弦信号：$x(t)=Asin(2\pi ft)$, 它的频率为$f$，如果把这个信号转到它的频域表示，我们会在频率$f$中看到一个峰值。如果我们的信号是由采样产生的离散信号好组成，我们会得到类似的频谱图，只不过前面是连续的，现在是离散。你可以把图像想象成沿着两个方向采集的信号。所以对图像同时进行X 方向和Y 方向的傅里叶变换，我们就会得到这幅图像的频域表示（频谱图）。
• 更直观一点，对于一个正弦信号，如果它的幅度变化非常快，我们可以说他是高频信号，如果变化非常慢，我们称之为低频信号。你可以把这种想法应用到图像中。图像哪里的幅度变化非常大呢？边界点或者噪声。所以我们说边界和噪声是图像中的高频分量（注意这里的高频是指变化非常快，而非出现的次数多）。如果没有如此大的幅度变化我们称之为低频分量。

2.Numpy中的傅里叶变换

代码速记：

• np.fft.fft2()
• np.fft.fftshift()
• np.fft.ifftshift()
• np.fft.ifft2()

（1）构建频谱图实战：

def numpy_fft(self):
    #【1】转灰度图
    img = cv2.cvtColor(self.img,cv2.COLOR_BGR2GRAY)

    #【2】fft2：对信号进行频率转换，输出结果是一个复杂的数组。
    #第二个参数是可选的, 决定输出数组的大小。
    #输出数组的大小和输入图像大小一样。如果输出结果比输入图像大，输入图像就需要在进行FFT前填充为0。
    #如果输出结果比输入图像小的话，输入图像就会被裁剪。
    f = np.fft.fft2(img)

    #【3】fftshift
    fshift = np.fft.fftshift(f)#上面得到的结果中，频率为0的部分（直流分量）在输出图像的左上角
    #让它（直流分量）在输出图像的中心，我们还需要将结果沿两个方向平移 N/2

    #【4】构建频谱图
    #20*log(|fshift|)
    magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fshift))
    #画图
    plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()

可以看到输出结果的中心部分更白（亮），这说明低频分量更多。

（2）对频谱图的操作：高通滤波(HPF)、重建图像(即找到逆DFT)：

def numpy_fft_abs(self):
	#对原图进行傅里叶变换	
    img = cv2.cvtColor(self.img,cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    f = np.fft.fft2(img)
    fshift = np.fft.fftshift(f)
    #在频域对图像进行一些操作:
    #【1】高通滤波：