无向连通图的割点

求一个无向连通图的割点。

割点的定义：

       若除去此结点和与其相关的边，无向连通图不再连通。

 

最简单直接的办法：

利用BFS或DFS可以用来判断图连通性的性质（即根据一次深搜或广搜能否遍历图所有的顶点来判断图的连通性）。

判断一个点是不是割点，先把这个点和相关的边从图中去掉， 然后用BFS或者DFS来判断剩下图的连通性。

这种算法适合判断一个点是否为割点，但是如果要去求所有的割点，算法的时间复杂度：O（V*（V+E））。

 

要思考一个适合去找图的割点集的算法。

算法思路：

对于一棵 DFS 搜索树：

1）根结点：当且仅当根节点至少有两个儿子时，其是割点

2）其他点：对于其他点 v，当仅有一个儿子 u 时，从 u 或 u 的后代出发，没有指向 v 祖先(不含 v)的边，则删除 v后，u 和 v 的父亲不连通时，v 是割点

算法过程：（基于 tarjan算法）

1）对图进行 Tarjan 算法，得到 dfn 和 low 两个数组；dfn来表示访问的时间（次序） low[a]来表示 a能够追溯到的祖先节点

2）每遍历一个新的 u 的儿子 v 都记录个数

3）low[u] 值更新后进行以下判断（前提：v 未被遍历）：

    ① u 为树根，且儿子个数大于 1

    ② u 不为树根，但 low[v]>=dfn[u]

    满足以上任意条件 u 便为割点，记录在一数组里，Tarjan 完成后再输出即可（中途输出会重复）

证明过程：
（1） 当a节点是dfs树中的根节点时 如果a有两个或者两个以上的子树则说明a是割点
（2）b节点在dfs树中是a的子树中的节点 low[b]>=dfn[a] 则说明a是割点
证明（1）
a为根节点 则low[a]=dfn[a]=1 假设b是其子树中的节点 则必有low[b]>=dfn[a] 则条件2必成立 则说明当a点为dfs树中的根节点时，条件2失去了其判断作用 当要判断的点为dfs树的根节点时 条件2无法判断
根节点是否是割点 所以应特殊情况特殊分析  
a是dfs树中的根节点 b和c分别是a的子树 则如果当通过a对b进行dfs后
没有访问到c则说明b和c之间没有任何直接连通的路径 则a为割点
也就是说当在dfs树中a的子树超过1则说明a为割点
证明（2）
a为非叶节点非根节点时 当b为a中的子树中的节点时 如果a是割点则说明 b必须通过a才可以和a的父节点 或者a的兄弟节点连通 则b能够追溯到则最早的节点即low[b]>=dfn[a]

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/HE19930303/article/details/47069989