最小费用最大流

最小费用最大流

在通过使用增广路径求解网络的最大流的基础之上，结合Dijkstra最短路径算法，求解给定路径代价的最小费用最大流。

1. 原理

设网络 $D=(V,A,C)$，每一个弧$(v_i,v_j)\in A$，弧的容量$c_i\in C$，以及每个弧上单位流量的费用$b(v_i,v_j)\ge 0$。最终的目标是求得该网络中的一个最大流$f$,使得 $b(f)=\sum _{(v_i,v_j)\in A}{b}_{ij}{f}_{ij}$ 最小。

若$f$是所有可行流中费用最小的，则按照费用最小的增广路径调整网络中的流，最终得到的就是所有可行流中的最小费用流。由于 $f=0$是最小费用的流，所以从$f=0$开始。
根据网络中的流，构造带权有向图$W(f)$，其中每个弧的权重 ${\omega }_{ij}$定义为：
ω i j = { b i j , f i j < c i j + ∞ , f i j = c i j