凸优化简介13

凸集

根据 凸优化简介9中凸函数的定义：$f(ax+(1-a)y)\le af(x)+(1-a)f(y),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n,a\in [0,1]$。因此，在某个段 $[x,y]$上的任何点都会满足 $z=ax+(1-a)y,a\in [0,1]$。因此，通过端点 $x,y$属于集合可以得到$x,y$中间的段也是属于这个集合。

定义：如果对于任意的 $x,y\in Q$，$a\in [0,1]$，有 $ax+(1-a)y\in Q$，那么集合 $Q$称为凸集。点 $ax+(1-a)y$称为 $x,y$两个点的凸组合。

图1 凸集

图2 非凸集

在凸优化简介3中提到过层集level set。

引理：如果函数 $f(x)$是一个凸函数，那么对于任意的 $\beta \in {\mathbb{R}}^1$，它的层集为 L f ( β ) = { x ∈ R n ∣ f ( x ) ≤ β } \mathfrak{L}_f(\beta)=\{x\in \mathbb{R}^n| f(x)\leq \beta\} Lf​(β)={ x∈Rn∣f(x)≤β}要么是凸的，要么是空的。

证明：设 $x,y\in {\mathfrak{L}}_f(\beta )$，那么 $f(x)\le \beta$, $f(y)\le \beta$。因此，使用上面凸函数的定义得到不等式：
$f(ax+(1-a)y)\le af(x)+(1-a)f(y)\le \beta$，表明 $ax+(1-a)y\in {\mathfrak{L}}_f(\beta )$.

引理：设函数 $f(x)$是一个凸函数，那么它的像 $(epigraph)$, ε f = { ( x , τ ) ∈ R n + 1 ∣ f ( x ) ≤ τ } \varepsilon_f=\{(x,\tau)\in \mathbb{R}^{n+1}|f(x)\leq \tau\} εf​={ (x,τ)∈Rn+1∣f(x)≤τ}是一个凸集。

证明：设 $z_1=(x_1,{\tau }_1)\in {\epsilon }_f$，并且 $z_2=(x_2,{\tau }_2)\in {\epsilon }_f$，那么，对于任意的 $a\in [0,1]$有：
$z_a=a{z}_1+(1-a)z_2=(a{x}_1+(1-a)x_2,a{\tau }_1+(1-a){\tau }_2)$,
$f(a{x}_1+(1-a)x_2)\le af(x_1)+(1-a)f(x_2)\le a{\tau }_1+(1-a){\tau }_2$.
因此，再次使用上面凸函数的定义的不等式得到 $f(a{x}_1+(1-a)x_2)\le af(x_1)+(1-a)f(x_2)\le a{\tau }_1+(1-a){\tau }_2$.

定理：设 $Q_1\subseteq {\mathbb{R}}^n$，$Q_2\subseteq {\mathbb{R}}^m$是凸集，且 $\mathfrak{A}(x)$是一个线性算子: A ( x ) = A x + b : R n → R m